Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
05) sum1^infty (-1)^n+1 n(x+3)^n-17^n-1

Passo 1

Tranquilo! A gente tem a série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1,n,(x+3)^n-17^n-1
O que a questão pede? Determinar o intervalo de convergência.
Matéria envolvida: séries de potências e o teste da razão para achar o raio de convergência, depois testar os extremos.

Passo 2

Primeiro, reindexamos pra ficar no formato clássico summ=0^infty am (x+3)^m.
Faça m = n-1.
Então, quando n=1, m=0, e
(-1)^n+1 = (-1)^m+2 = (-1)^m, n = m+1,
(x+3)^n-1 = (x+3)^m, 7^n-1 = 7^m
Fica
summ=0^infty underbrace(m+1)(-1)^m7^mam ,(x+3)^m

Passo 3

Agora aplica o teste da razão.
L = limmtoinfty l|am+1(x+3)^m+1am(x+3)^mr| = limmtoinfty(m+2)(m+1);|x+3|7 = |x+3|7
Para convergir, a gente quer L<1, ou seja
|x+3|7<1 ;Longrightarrow; |x+3|<7
Logo o raio de convergência é R=7 e o intervalo central é
-7 < x+3 < 7 ;Longrightarrow; -10 < x < 4

Passo 4

A gente ainda precisa ver os endpoints x=-10 e x=4.
  1. x=-10: então x+3=-7. O termo geral vira
am(-7)^m = (m+1)(-1)^m7^m,(-7)^m = (m+1),(-1)^m(-1)^m = m+1
Isso não vai a zero, logo diverge.
  1. x=4: então x+3=7. O termo geral vira
am,7^m = (m+1)(-1)^m7^m,7^m = (m+1)(-1)^m
Também não vai a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
boxed(-10,,4)

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