( 2 pontos) Determine o limite (ou mostra que o limite não existe):
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^2yx^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos precisar usar coordenadas polares ou o teorema do confronto (squeeze) para mostrar que o valor tende a zero independentemente do caminho.

Passo 2

Para agilizar o cálculo, fazemos a troca para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r = raizx^2+y^2 e rto0^+ corresponde a (x,y)to(0,0). Substituindo em f(x,y)=x^2yx^2+y^2 temos:
f(r,theta) = (rcostheta)^2,(rsintheta)r^2 = r,cos^2theta,sintheta

Passo 3

Agora aplicamos o teorema do confronto. Note que
|f(r,theta)| = |r,cos^2theta,sintheta| <= rcdot|cos^2theta|cdot|sintheta| <= rcdot1cdot1 = r
Como rto0 implica rto0, concluímos que f(r,theta)to0 para qualquer theta.

Passo 4

Portanto o limite existe e é igual a zero.

Resposta

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