A) Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales, atendiendo a si es ordinaria o parcial, lineal o no lineal; indique también el orden, así como las variables dependientes e independientes.
ii) y cdot d^3 yd x^3=12

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e precisamos classificá-la. Isso inclui dizer se é ordinária ou parcial, linear ou não linear, indicar o ordem da equação e identificar quais são as variáveis dependente e independente. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é ordinária ou parcial. Uma equação diferencial ordinária envolve derivadas em relação a apenas uma variável independente. Já uma equação diferencial parcial envolve derivadas em relação a várias variáveis independentes.
Na nossa equação:
y cdot d^3 yd x^3 = 12
todas as derivadas são em relação a x. Não temos outras variáveis independentes envolvidas. Então, essa equação é ordinária.

Passo 3

Agora, vamos determinar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se a função dependente (neste caso, y) e todas as suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, não estão multiplicadas entre si nem elevadas a alguma potência diferente de 1.
Na nossa equação, temos:
y cdot d^3 yd x^3
Aqui, y está sendo multiplicado pela sua terceira derivada, o que acaba deixando a equação não linear porque os termos estão multiplicados entre si.

Passo 4

Vamos identificar o ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação.
Na nossa equação, a derivada de maior ordem é a terceira derivada:
d^3 yd x^3
Portanto, a equação é de terceira ordem.

Passo 5

Por último, vamos identificar as variáveis dependente e independente.
  • Variável dependente: é aquela que depende da outra, geralmente representada pela função que estamos buscando resolver. Aqui, y é a variável dependente porque ela depende de x.
  • Variável independente: é a variável em relação à qual derivamos. Neste caso, x é a variável independente.

Resposta

A equação diferencial $ y \cdot \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{1}{2} $ é uma equação diferencial ordinária, não linear, de terceira ordem, onde y é a variável dependente e x é a variável independente.

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