Una población
crece en función del tiempo, medido en horas, siguiendo la ley logística. Es conocido que, inicialmente, el número de individuos es 650, que el máximo que puede soportar el medio es
individuos y que a los 45 minutos la población alcanzó unos efectivos de
.
a) ¿Cuál es la población a las 2 horas y 15 minutos?
b) ¿Cuánto tiempo tendrá que transcurrir para que se alcance la tercera parte del número de individuos que forman la capacidad máxima?
a) ¿Cuál es la población a las 2 horas y 15 minutos?
b) ¿Cuánto tiempo tendrá que transcurrir para que se alcance la tercera parte del número de individuos que forman la capacidad máxima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre o crescimento de uma população seguindo a lei logística, que é um modelo que descreve como uma população cresce até atingir um limite máximo que o ambiente pode suportar. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da lei logística e alguns conceitos básicos de matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- População inicial, $ P_0 = 650 $ indivíduos.
- Capacidade máxima do meio, $ K = 4 \times 10^{7} $ indivíduos.
- Após 45 minutos (que é 0,75 horas), a população é $ P(0,75) = 2 \times 10^{3} $ indivíduos.
Esses valores vão nos ajudar a encontrar a taxa de crescimento $ r $ e, depois, responder às perguntas a) e b).
Passo 3
A fórmula da lei logística é dada por:
Onde:
- $ P(t) $ é a população no tempo $ t $.
- $ K $ é a capacidade de carga (capacidade máxima).
- $ A $ é uma constante que depende das condições iniciais.
- $ r $ é a taxa de crescimento.
- $ t $ é o tempo.
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ A $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ P(0) = P_0 $. Então,
Resolvendo para $ A $:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição que aos 0,75 horas a população é $ 2 \times 10^{3} $ para encontrar a taxa de crescimento $ r $.
Substituindo na fórmula:
Resolvendo para $ e^{-r \cdot 0,75} $:
Agora, tiramos o logaritmo natural dos dois lados para isolar $ r $:
Passo 5
Agora que temos o valor de $ r $, podemos responder à parte a) do exercício: Qual é a população às 2 horas e 15 minutos?
Primeiro, convertemos 2 horas e 15 minutos para horas: $ 2 + \frac{15}{60} = 2,25 $ horas.
Usando a fórmula logística:
Vamos calcular o expoente:
Então,
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): Quanto tempo terá que transcurrer para que se alcance a terceira parte do número de indivíduos que forma a capacidade máxima?
A terceira parte da capacidade máxima é:
Usando novamente a fórmula logística:
Resolvendo para $ t $:
Tirando o logaritmo natural:
Resposta
a) A população às 2 horas e 15 minutos é aproximadamente $ 1,898 \times 10^{4} $ indivíduos.
b) O tempo necessário para alcançar a terceira parte da capacidade máxima é de aproximadamente 6,89 horas.