Un vino blanco a temperatura ambiente de 70^circ F se refrigera en hielo a 32^circ F. Si transcurren 15 minutos para que el vino se enfríe a 60^circ F, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el vino alcance la temperatura de 56^circ F ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de resfriar o vinho usando a Lei do Resfriamento de Newton. O enunciado diz que temos um vinho branco a 70^circ F colocado em gelo a 32^circ F. Depois de 15 minutos, ele cai para 60^circ F. Queremos saber quanto tempo vai levar para chegar a 56^circ F. Vamos precisar dessa lei para relacionar a diferença de temperatura com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb) cdot e^-kt
Aqui, T(t) é a temperatura do objeto no tempo t, Tamb é a temperatura do ambiente (no caso, gelo a 32^circ F), T0 é a temperatura inicial do objeto ( 70^circ F) e k é a constante de resfriamento que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos usar as informações que temos para encontrar a constante k. Sabemos que após 15 minutos, a temperatura é 60^circ F. Substituindo na fórmula:
60 = 32 + (70 - 32) cdot e^-k cdot 15
Simplificando:
60 - 32 = 38 cdot e^-15k
28 = 38 cdot e^-15k
2838 = e^-15k
ln(2838) = -15k
k = -ln(2838)15
Calculando isso:
k approx -ln(0.7368)15 approx 0.306515 approx 0.02043 , min^-1

Passo 4

Agora que temos k, vamos encontrar o tempo para a temperatura cair para 56^circ F. Usamos novamente a fórmula:
56 = 32 + 38 cdot e^-0.02043t
Subtraindo 32:
24 = 38 cdot e^-0.02043t
2438 = e^-0.02043t
ln(2438) = -0.02043t
t = -ln(2438)0.02043
Calculando:
t approx -ln(0.6316)0.02043 approx 0.45940.02043 approx 22.48 , minutos

Resposta

Vai levar aproximadamente 22,5 minutos para o vinho atingir a temperatura de 56^circ F.

Exercícios relacionados