A) Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales, atendiendo a si es ordinaria o parcial, lineal o no lineal; indique también el orden, así como las variables dependientes e independientes.
i) x d yd x+y(3 x^3-1)=x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar uma equação diferencial. Estamos trabalhando com Equações Diferenciais e precisamos identificar se a equação é ordinária ou parcial, linear ou não linear, seu ordem, e também quais são as variáveis dependentes e independentes. Para isso, vamos analisar cada parte da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é ordinária ou parcial. Como a equação dada envolve apenas uma variável independente, que é o $ x $, e uma variável dependente, que é o $ y $, ela é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação é linear se pode ser escrita na forma linear padrão, que no nosso caso seria $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $, onde $ P(x) $ e $ Q(x) $ são funções de $ x $. Olhando para a equação:
dydx + P(x)y = Q(x)
Podemos dividir os dois lados por $ x $ para ficar:
P(x)
Como está na forma linear, a equação é linear.

Passo 4

Vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente nela. Aqui, a única derivada é $ \frac{dy}{dx} $, que é de primeira ordem. Então, a equação é de primeira ordem.

Passo 5

Por fim, vamos identificar as variáveis dependente e independente. Na equação, $ y $ depende de $ x $, então:
  • Variável Independente: $ x $
  • Variável Dependente: $ y $

Resposta

A equação diferencial $ x \frac{dy}{dx} + y\left(3x^{3} - 1\right) = x^{4} $ é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), linear, de primeira ordem, sendo $ x $ a variável independente e $ y $ a variável dependente.

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