Un objeto de 4 N de peso se deja caer desde una altura de 1000 metros. En su trayectoria encuentra una fuerza de rozamiento producida por el viento proporcional a la velocidad que lleva a cada instante, con contante de proporcionalidad igual a 0.05 .
a) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que alcanza una velocidad de 73 m / s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um objeto que pesa 4 N sendo solto de uma altura de 1000 metros. Enquanto ele cai, o vento vai empurrando e gerando uma força de resistência proporcional à velocidade do objeto. A constante dessa proporcionalidade é 0,05. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo leva para esse objeto atingir uma velocidade de 73 metros por segundo. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre o peso do objeto e a sua massa. Sabemos que o peso $ W $ está relacionado à massa $ m $ pela fórmula:
W
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade, que vamos considerar como $ 9,8 , m/s² $. Então:
m ²

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento. Quando o objeto está caindo, a força resultante que age sobre ele é a diferença entre a força da gravidade e a força de resistência do vento. A força de resistência é dada por:
Fresistência = k cdot v ê
Onde $ k = 0,05 $ e $ v $ é a velocidade do objeto. A segunda lei de Newton nos dá:
k = 0,05

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
dvdt + km cdot v = g
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 5

O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Multiplicando toda a equação pela $ \mu(t) $:
mu(t) = e^integral km dt = e^km t
Isso simplifica para:
mu(t)

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t
Onde $ C $ é a constante de integração. Dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{k}{m} t} $:
e^km t cdot v = g cdot mk cdot e^km t + C

Passo 7

Considerando que o objeto parte do repouso, ou seja, $ v(0) = 0 $, podemos encontrar $ C $:
v(0) = 0
Então, a equação da velocidade fica:
C

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores que temos:
v(t) = 9,8 cdot 0,4080,05 ( 1 - e^-0,050,408 t ) approx 80 ( 1 - e^-0,12245 t )
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ v(t) = 73 , m/s $:
t

Passo 9

Vamos isolar o termo exponencial:
7380 = 1 - e^-0,12245 t Rightarrow e^-0,12245 t = 1 - 7380 = 780 = 0,0875
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
-0,12245 t = ln(0,0875) approx -2,4403

Resposta

Resolvendo para $ t $:
t
Portanto, leva aproximadamente 19,9 segundos para o objeto alcançar a velocidade de 73 m/s.

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