Un objeto de 4 N de peso se deja caer desde una altura de 1000 metros. En su trayectoria encuentra una fuerza de rozamiento producida por el viento proporcional a la velocidad que lleva a cada instante, con contante de proporcionalidad igual a 0.05 .
a) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que alcanza una velocidad de
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a) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que alcanza una velocidad de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um objeto que pesa 4 N sendo solto de uma altura de 1000 metros. Enquanto ele cai, o vento vai empurrando e gerando uma força de resistência proporcional à velocidade do objeto. A constante dessa proporcionalidade é 0,05. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo leva para esse objeto atingir uma velocidade de 73 metros por segundo. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre o peso do objeto e a sua massa. Sabemos que o peso $ W $ está relacionado à massa $ m $ pela fórmula:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade, que vamos considerar como $ 9,8 , m/s² $. Então:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação do movimento. Quando o objeto está caindo, a força resultante que age sobre ele é a diferença entre a força da gravidade e a força de resistência do vento. A força de resistência é dada por:
Onde $ k = 0,05 $ e $ v $ é a velocidade do objeto. A segunda lei de Newton nos dá:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 5
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Multiplicando toda a equação pela $ \mu(t) $:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{k}{m} t} $:
Passo 7
Considerando que o objeto parte do repouso, ou seja, $ v(0) = 0 $, podemos encontrar $ C $:
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ v(t) = 73 , m/s $:
Passo 9
Vamos isolar o termo exponencial:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
Resolvendo para $ t $:
Portanto, leva aproximadamente 19,9 segundos para o objeto alcançar a velocidade de 73 m/s.