A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por r=(2,0 t^3-5,0 t) i+(6,0-7,0 t^4) j, com r em metros e t em segundos. Determine o módulo e a direção do vetor deslocamento entre t=2,0 s e t= 6,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula que se move no plano xy, dada por:
r = (2.0, t^3 -5.0, t) i + (6.0 -7.0, t^4) j
Nosso objetivo aqui é determinar o módulo (ou seja, o tamanho) e a direção do vetor deslocamento dessa partícula entre t = 2,0 segundos e t = 6,0 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor deslocamento a partir das posições iniciais e finais, além de usar fórmulas para encontrar o módulo e a direção de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as posições da partícula nos instantes t = 2,0, s e t = 6,0, s. Isso significa que vamos substituir esses valores de t na equação da posição r.
Para t = 2,0, s:
r(2) = (2.0, (2)^3 -5.0, (2)) i + (6.0 -7.0, (2)^4) j
Calculando:
r(2) = (2.0 times 8 - 10) i + (6.0 -7.0 times 16) j = (16 -10) i + (6 -112) j = 6, i -106, j
Para t = 6,0, s:
r(6) = (2.0, (6)^3 -5.0, (6)) i + (6.0 -7.0, (6)^4) j
Calculando:
r(6) = (2.0 times 216 -30) i + (6.0 -7.0 times 1296) j = (432 -30) i + (6 -9072) j = 402, i -9066, j

Passo 3

Agora que temos as posições inicial e final, podemos encontrar o vetor deslocamento D, que é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
D = r(6) - r(2) = (402, i -9066, j) - (6, i -106, j) = (402 -6), i + (-9066 +106), j = 396, i -8960, j

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo do vetor deslocamento. O módulo de um vetor D = a, i + b, j é dado por:
|D| = raiza^2 + b^2
Aplicando os valores que encontramos:
|D| = raiz(396)^2 + (-8960)^2 = raiz156816 + 80281600 = raiz80438416 approx 8979,3, metros

Passo 5

Agora vamos determinar a direção do vetor deslocamento. A direção pode ser expressa pelo ângulo theta que o vetor faz com o eixo x, calculado pela fórmula:
tan(theta) = ba
Onde a = 396 e b = -8960. Então:
tan(theta) = -8960396 approx -22,63
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função inversa da tangente:
theta = arctan(-22,63) approx -87,5^circ
Isso significa que o ângulo está 87,5 graus abaixo do eixo x positivo.

Resposta

O módulo do vetor deslocamento é aproximadamente 8979,3 metros e a direção é de 87,5 graus abaixo do eixo x positivo.

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