A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por
, com
em metros e t em segundos. Determine o módulo e a direção do vetor deslocamento entre
s e
6,0 s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula que se move no plano xy, dada por:
Nosso objetivo aqui é determinar o módulo (ou seja, o tamanho) e a direção do vetor deslocamento dessa partícula entre
segundos e
segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor deslocamento a partir das posições iniciais e finais, além de usar fórmulas para encontrar o módulo e a direção de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as posições da partícula nos instantes
e
. Isso significa que vamos substituir esses valores de
na equação da posição
.
Para
:
Calculando:
Para
:
Calculando:
Passo 3
Agora que temos as posições inicial e final, podemos encontrar o vetor deslocamento
, que é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
Passo 4
Agora vamos calcular o módulo do vetor deslocamento. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando os valores que encontramos:
Passo 5
Agora vamos determinar a direção do vetor deslocamento. A direção pode ser expressa pelo ângulo
que o vetor faz com o eixo x, calculado pela fórmula:
Onde
e
. Então:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função inversa da tangente:
Isso significa que o ângulo está 87,5 graus abaixo do eixo x positivo.
Resposta
O módulo do vetor deslocamento é aproximadamente 8979,3 metros e a direção é de 87,5 graus abaixo do eixo x positivo.