a) Encontrar la solución general de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de Bernoulli, que é útil quando a equação pode ser escrita na forma:
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixá-la na forma padrão do método de Bernoulli. Vamos isolar
:
Simplificando:
Agora, nossa equação está na forma:
Comparando com a forma padrão de Bernoulli, temos:
Passo 3
O método de Bernoulli sugere uma substituição para transformar a equação em uma equação linear. Vamos usar a substituição:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
da equação original:
Como
, podemos substituir:
Passo 4
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Vamos usar substituição:
Seja
, então
ou
.
Reescrevendo a integral:
Integrando por partes:
Passo 6
Voltando à equação original:
Simplificando:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.