a) Encontrar la solución general de -x y^prime+2 x^2 y+x^4 y^5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
- x dydx + 2x^2 y + x^4 y^5 = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de Bernoulli, que é útil quando a equação pode ser escrita na forma:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixá-la na forma padrão do método de Bernoulli. Vamos isolar dydx:
- x dydx + 2x^2 y + x^4 y^5 = 0 Rightarrow dydx = 2x^2 y + x^4 y^5x
Simplificando:
dydx = 2x y + x^3 y^5
Agora, nossa equação está na forma:
dydx + (-2x) y = x^3 y^5
Comparando com a forma padrão de Bernoulli, temos:
P(x) = -2x, Q(x) = x^3, e n = 5

Passo 3

O método de Bernoulli sugere uma substituição para transformar a equação em uma equação linear. Vamos usar a substituição:
z = y^1 - n = y^-4
Agora, vamos derivar z em relação a x:
dzdx = -4 y^-5 dydx
Substituindo dydx da equação original:
dzdx = -4 y^-5 (2x y + x^3 y^5) = -4 (2x y^-4 + x^3)
Como z = y^-4, podemos substituir:
dzdx = -8x z - 4x^3

Passo 4

Agora, temos uma equação linear em z:
dzdx + 8x z = -4x^3
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral 8x , dx = e^4x^2
Multiplicando toda a equação por mu(x):
e^4x^2 dzdx + 8x e^4x^2 z = -4x^3 e^4x^2
O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) z:
ddx ( e^4x^2 z ) = -4x^3 e^4x^2

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^4x^2 z ) dx = integral -4x^3 e^4x^2 dx
O lado esquerdo simplifica para:
e^4x^2 z = integral -4x^3 e^4x^2 dx + C
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Vamos usar substituição:
Seja u = 4x^2, então du = 8x dx ou x dx = du8.
Reescrevendo a integral:
integral -4x^3 e^4x^2 dx = integral -4x^2 cdot x e^4x^2 dx = -4 integral x^2 e^4x^2 cdot x dx = -4 integral u4 e^u cdot du8 = -18 integral u e^u du
Integrando por partes:
integral u e^u du = e^u (u - 1) + C Rightarrow -18 e^u (u - 1) + C = -18 e^4x^2 (4x^2 - 1) + C

Passo 6

Voltando à equação original:
e^4x^2 z = -18 e^4x^2 (4x^2 - 1) + C Rightarrow z = -18 (4x^2 - 1) + C e^-4x^2
Simplificando:
z = -12 x^2 + 18 + C e^-4x^2
Lembrando que z = y^-4, substituímos de volta:
y^-4 = -12 x^2 + 18 + C e^-4x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ( -12 x^2 + 18 + C e^-4x^2 )^- 14
onde C é uma constante arbitrária.

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