Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 , de história. O número de alunos desta classe que gostam de matemática e história é:
a) exatamente 16 .
b) exatamente 10 .
c) exatamente 6 .
d) exatamente 18 .
a) exatamente 16 .
b) exatamente 10 .
c) exatamente 6 .
d) exatamente 18 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há uma classe com
alunos. -
alunos gostam de matemática. -
alunos gostam de história. - A pergunta: “O número de alunos desta classe que gostam de matemática e história é:” com as alternativas:
- a) exatamente
. - b) exatamente
. - c) exatamente
. - d) exatamente
.
- a) exatamente
Passo 2
Entendendo o que significa “gostar de matemática e história” em contagem: isso é a interseção entre o conjunto dos que gostam de matemática e o conjunto dos que gostam de história. Em teoria de conjuntos, para dois conjuntos
(matemática) e
(história) vale a fórmula de inclusão-exclusão:
Explicando a fórmula de forma simples: se somamos quem gosta de matemática com quem gosta de história contamos duas vezes quem gosta de ambas; por isso subtraímos a interseção para não contar duplamente. Aqui:
-
é o número de alunos que gostam de matemática. -
é o número de alunos que gostam de história. -
é o número que gosta de ambas (o que queremos). -
é o número que gosta de matemática ou história (ou ambas).
Passo 3
Para usar a fórmula precisamos de
. O enunciado não diz explicitamente que todos gostam de pelo menos uma das duas matérias, mas é comum nas questões desse tipo assumir que a pesquisa abrange gostos e que não há alunos fora dessas preferências. Se assumirmos que todo aluno gosta de matemática ou história (ou ambas), então:
Substituindo na fórmula da inclusão-exclusão:
Passo 4
Agora resolvemos a equação acima para encontrar
. Reorganizando:
Calcule passo a passo:
Passo 5
Interpretação e verificação das alternativas:
- O valor encontrado é
. - Conferindo as alternativas dadas: a)
— poderia ocorrer apenas se todo aluno que gosta de matemática também gostasse de história e mais nenhum outro gostasse só de história (mas então seria , o que não coincide com a soma dada quando se assume ); b) — não corresponde ao cálculo; c) — corresponde ao cálculo acima; d) — impossível, pois não pode haver mais pessoas na interseção do que no menor dos dois conjuntos (o menor é ), além de violar a soma total. Portanto a alternativa que bate com o cálculo é a c).
Resposta
c) exatamente
.