Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 , de história. O número de alunos desta classe que gostam de matemática e história é:
a) exatamente 16 .
b) exatamente 10 .
c) exatamente 6 .
d) exatamente 18 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há uma classe com 30 alunos.
  • 16 alunos gostam de matemática.
  • 20 alunos gostam de história.
  • A pergunta: “O número de alunos desta classe que gostam de matemática e história é:” com as alternativas:
    • a) exatamente 16.
    • b) exatamente 10.
    • c) exatamente 6.
    • d) exatamente 18.

Passo 2

Entendendo o que significa “gostar de matemática e história” em contagem: isso é a interseção entre o conjunto dos que gostam de matemática e o conjunto dos que gostam de história. Em teoria de conjuntos, para dois conjuntos M (matemática) e H (história) vale a fórmula de inclusão-exclusão:
|M\cup H| = |M| + |H| - |M\cap H|.
Explicando a fórmula de forma simples: se somamos quem gosta de matemática com quem gosta de história contamos duas vezes quem gosta de ambas; por isso subtraímos a interseção para não contar duplamente. Aqui:
  • |M| é o número de alunos que gostam de matemática.
  • |H| é o número de alunos que gostam de história.
  • |M\cap H| é o número que gosta de ambas (o que queremos).
  • |M\cup H| é o número que gosta de matemática ou história (ou ambas).

Passo 3

Para usar a fórmula precisamos de |M\cup H|. O enunciado não diz explicitamente que todos gostam de pelo menos uma das duas matérias, mas é comum nas questões desse tipo assumir que a pesquisa abrange gostos e que não há alunos fora dessas preferências. Se assumirmos que todo aluno gosta de matemática ou história (ou ambas), então:
|M\cup H| = 30.
Substituindo na fórmula da inclusão-exclusão:
30 = 16 + 20 - |M\cap H|.

Passo 4

Agora resolvemos a equação acima para encontrar |M\cap H|. Reorganizando:
|M\cap H| = 16 + 20 - 30.
Calcule passo a passo:
16 + 20 = 36,
36 - 30 = 6.

Passo 5

Interpretação e verificação das alternativas:
  • O valor encontrado é 6.
  • Conferindo as alternativas dadas: a) 16 — poderia ocorrer apenas se todo aluno que gosta de matemática também gostasse de história e mais nenhum outro gostasse só de história (mas então |M\cap H| seria 16, o que não coincide com a soma dada quando se assume |M\cup H|=30); b) 10 — não corresponde ao cálculo; c) 6 — corresponde ao cálculo acima; d) 18 — impossível, pois não pode haver mais pessoas na interseção do que no menor dos dois conjuntos (o menor é 16), além de violar a soma total. Portanto a alternativa que bate com o cálculo é a c).

Resposta

c) exatamente 6.

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