Numa classe há 10 meninos e 5 meninas. Três estudantes sāo selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade
dos dois primeiros serem meninos e o terceiro, menina

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 10 meninos e 5 meninas numa classe, total de 15 estudantes.
  • São selecionados 3 estudantes aleatoriamente, um após o outro, sem reposição (ou seja, uma vez escolhido, um estudante não volta para a urna).
    A pergunta é: qual a probabilidade de que os dois primeiros selecionados sejam meninos e o terceiro seja menina?

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (sem pular passos): quando eventos ocorrem em sequência sem reposição, a probabilidade conjunta é o produto de probabilidades condicionais. Em símbolos:
\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(A)\,\mathbb{P}(B\mid A)\,\mathbb{P}(C\mid A\cap B),
onde:
  • \mathbb{P}(A) é a probabilidade do primeiro evento (aqui: primeiro ser menino),
  • \mathbb{P}(B\mid A) é a probabilidade do segundo evento dado que o primeiro ocorreu (aqui: segundo ser menino dado que o primeiro foi menino),
  • \mathbb{P}(C\mid A\cap B) é a probabilidade do terceiro evento dado que os dois primeiros ocorreram (aqui: terceiro ser menina dado que os dois primeiros foram meninos).

Passo 3

Calcular \mathbb{P}(\text{1º é menino})ºé. No primeiro sorteio temos 10 meninos entre 15 alunos, logo:
\mathbb{P}(\text{1º é menino})=\frac{10}{15}.ºé
Explicação curta: probabilidade = número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(\text{2º é menino}\mid \text{1º foi menino})ºéº. Se o primeiro foi menino, restam 9 meninos e 5 meninas, total 14. Logo:
\mathbb{P}(\text{2º é menino}\mid \text{1º foi menino})=\frac{9}{14}.ºéº

Passo 5

Calcular \mathbb{P}(\text{3º é menina}\mid \text{1º e 2º foram meninos})ºéºº. Após dois meninos retirados restam 8 meninos e 5 meninas, total 13. A probabilidade de tirar uma menina agora é:
\mathbb{P}(\text{3º é menina}\mid \text{1º e 2º meninos})=\frac{5}{13}.ºéºº

Passo 6

Multiplicar as probabilidades condicionais para obter a probabilidade conjunta:
\mathbb{P}=\frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{5}{13}=\frac{450}{2730}.
Agora simplificamos a fração. Dividindo numerador e denominador por 30 obtém-se
\mathbb{P}=\frac{15}{91}.
Como valor aproximado:
\mathbb{P}\approx0,1648\quad(\text{ou }16{,}48\%).

Resposta

\dfrac{15}{91}\approx0,1648

Exercícios relacionados