Em uma classe as notas obtidas pelos alunos foram agrupadas da seguinte maneira: 0 \vdash 2,0 ( 1 aluno); 2,0 \vdash 4,0 ( 6 alunos); 4,0 \vdash 6,0 ( 9 alunos); 6,0 \vdash 8,0 ( 8 alunos); 8,0 \vdash 10,0 ( 6 alunos). A partir desses dados organize a tabela de frequências, calcule a média, a moda, mediana, a variância, o desvio padrão, o histograma e o poligono de frequências. (Valor: 10,0 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Organizar a tabela de frequências dos intervalos dados.
    2. Calcular a média.
    3. Calcular a moda.
    4. Calcular a mediana.
    5. Calcular a variância.
    6. Calcular o desvio padrão.
    7. Construir o histograma.
    8. Construir o polígono de frequências.
  • Dados fornecidos (copiado do enunciado):
    • Intervalo 0 a 2,0: 1 aluno.
    • Intervalo 2,0 a 4,0: 6 alunos.
    • Intervalo 4,0 a 6,0: 9 alunos.
    • Intervalo 6,0 a 8,0: 8 alunos.
    • Intervalo 8,0 a 10,0: 6 alunos.
  • Observações importantes usadas na resolução (sem resolver ainda):
    • Os intervalos têm largura constante h=2.
    • Vou tratar os dados como dados agrupados (usar os pontos médios das classes para médias e variâncias).
    • Total de observações será calculado como N= soma das frequências.

Passo 2

Construção da tabela de frequências (classes, frequência f, ponto médio x_i, produto f\cdot x_i, frequência acumulada F).
  • Classes e frequências (direto do enunciado):
    • 0 \le x < 2: f_1 = 1.
    • 2 \le x < 4: f_2 = 6.
    • 4 \le x < 6: f_3 = 9.
    • 6 \le x < 8: f_4 = 8.
    • 8 \le x \le 10: f_5 = 6.
  • Calculo dos pontos médios x_i de cada classe (ponto médio = (limite inferior + limite superior)/2):
    • Para 0 2: x_1 = \dfrac{0+2}{2}=1.
    • Para 2 4: x_2 = \dfrac{2+4}{2}=3.
    • Para 4 6: x_3 = \dfrac{4+6}{2}=5.
    • Para 6 8: x_4 = \dfrac{6+8}{2}=7.
    • Para 8 10: x_5 = \dfrac{8+10}{2}=9.
  • Agora os produtos f_i\cdot x_i:
    • f_1 x_1 = 1\cdot 1 = 1.
    • f_2 x_2 = 6\cdot 3 = 18.
    • f_3 x_3 = 9\cdot 5 = 45.
    • f_4 x_4 = 8\cdot 7 = 56.
    • f_5 x_5 = 6\cdot 9 = 54.
  • Frequência acumulada F:
    • F_1 = 1.
    • F_2 = 1+6 = 7.
    • F_3 = 7+9 = 16.
    • F_4 = 16+8 = 24.
    • F_5 = 24+6 = 30.
  • Resumo em forma de tabela (linhas):
    • Classe 0\le x<2: f=1, x_i=1, f x_i=1, F=1.
    • Classe 2\le x<4: f=6, x_i=3, f x_i=18, F=7.
    • Classe 4\le x<6: f=9, x_i=5, f x_i=45, F=16.
    • Classe 6\le x<8: f=8, x_i=7, f x_i=56, F=24.
    • Classe 8\le x\le 10: f=6, x_i=9, f x_i=54, F=30.

Passo 3

Cálculo da soma total N e da média aritmética (para dados agrupados usando pontos médios).
  • Soma das frequências:
    N = 1+6+9+8+6 = 30.
  • Soma dos produtos f_i x_i:
    \sum f_i x_i = 1 + 18 + 45 + 56 + 54 = 174.
  • Fórmula da média para dados agrupados:
    \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N},
    onde \bar{x} é a média, f_i é a frequência da i-ésima classe, x_i o ponto médio, e N o total.
  • Cálculo numérico:
    \bar{x} = \frac{174}{30} = 5{,}8.
  • Interpretação: a média aproximada das notas da turma é \bar{x}=5{,}8.

Passo 4

Cálculo da mediana por interpolação (dados agrupados).
  • Primeiro localizar a classe mediana: a posição mediana para N observações é N/2.
    \frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15.
    Procuramos a primeira classe cuja frequência acumulada F seja \ge 15. Observando F da tabela: F_2=7<15 e F_3=16\ge15. Logo a classe mediana é a terceira: 4\le x<6.
  • Fórmula da mediana para dados agrupados (interpolação linear dentro da classe):
    \text{Mediana} = L + \frac{\frac{N}{2} - F_{antes}}{f_{m}} \cdot h,
    onde:
    • L é o limite inferior da classe mediana,
    • F_{antes} é a frequência acumulada antes da classe mediana,
    • f_{m} é a frequência da classe mediana,
    • h é a amplitude (largura) da classe.
  • Valores:
    • L = 4 (limite inferior da classe 4\le x<6),
    • F_{antes} = F_2 = 7,
    • f_{m} = 9,
    • h = 2.
  • Substituindo:
    \text{Mediana} = 4 + \frac{15 - 7}{9}\cdot 2 = 4 + \frac{8}{9}\cdot 2 = 4 + \frac{16}{9} = 4 + 1{,}777\ldots = 5{,}777\ldots
    Arredondando para duas casas decimais: \text{Mediana}\approx 5{,}78.

Passo 5

Cálculo da moda para dados agrupados (fórmula da moda por interpolação na classe modal).
  • Identificar a classe modal: é a classe com maior frequência f. Observando as frequências: 1,6,9,8,6 — a maior é 9, portanto a classe modal é 4\le x<6 (mesma classe que a mediana neste caso).
  • Fórmula da moda (dados agrupados):
    \text{Moda} = L + \frac{f_{m} - f_{an}}{2f_{m} - f_{an} - f_{de}} \cdot h,
    onde:
    • L é o limite inferior da classe modal,
    • f_{m} é a frequência da classe modal,
    • f_{an} é a frequência da classe anterior,
    • f_{de} é a frequência da classe seguinte,
    • h é a amplitude.
  • Valores:
    • L = 4,
    • f_{m} = 9,
    • f_{an} = 6 (classe 2\le x<4),
    • f_{de} = 8 (classe 6\le x<8),
    • h = 2.
  • Substituindo:
    \text{Moda} = 4 + \frac{9-6}{2\cdot 9 - 6 - 8}\cdot 2 = 4 + \frac{3}{18 - 14}\cdot 2 = 4 + \frac{3}{4}\cdot 2 = 4 + \frac{6}{4} = 4 + 1{,}5 = 5{,}5.
  • Resultado: \text{Moda} = 5{,}5.

Passo 6

Cálculo da variância e do desvio padrão (tratando a turma como população; uso da fórmula de variância populacional para dados agrupados).
  • Justificativa do método: como os dados representam todas as notas de uma turma inteira (não estou extraindo uma amostra da turma), uso a variância populacional. A fórmula para variância populacional de dados agrupados é:
    \sigma^{2} = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^{2}}{N},
    onde \bar{x} é a média calculada, x_i os pontos médios, f_i as frequências e N o total.
  • Já temos \bar{x}=5{,}8. Calcular x_i - \bar{x}, (x_i-\bar{x})^2 e f_i (x_i-\bar{x})^2:
    • Para x_1=1: x_1-\bar{x} = 1 - 5{,}8 = -4{,}8,\quad (x_1-\bar{x})^2 = 23{,}04,\quad f_1 (x_1-\bar{x})^2 = 1\cdot 23{,}04 = 23{,}04.
    • Para x_2=3: x_2-\bar{x} = 3 - 5{,}8 = -2{,}8,\quad (x_2-\bar{x})^2 = 7{,}84,\quad f_2 (x_2-\bar{x})^2 = 6\cdot 7{,}84 = 47{,}04.
    • Para x_3=5: x_3-\bar{x} = 5 - 5{,}8 = -0{,}8,\quad (x_3-\bar{x})^2 = 0{,}64,\quad f_3 (x_3-\bar{x})^2 = 9\cdot 0{,}64 = 5{,}76.
    • Para x_4=7: x_4-\bar{x} = 7 - 5{,}8 = 1{,}2,\quad (x_4-\bar{x})^2 = 1{,}44,\quad f_4 (x_4-\bar{x})^2 = 8\cdot 1{,}44 = 11{,}52.
    • Para x_5=9: x_5-\bar{x} = 9 - 5{,}8 = 3{,}2,\quad (x_5-\bar{x})^2 = 10{,}24,\quad f_5 (x_5-\bar{x})^2 = 6\cdot 10{,}24 = 61{,}44.
  • Soma dos termos f_i (x_i-\bar{x})^2:
    \sum f_i (x_i-\bar{x})^2 = 23{,}04 + 47{,}04 + 5{,}76 + 11{,}52 + 61{,}44 = 148{,}80.
  • Variância populacional:
    \sigma^{2} = \frac{148{,}80}{30} = 4{,}96.
  • Desvio padrão (raiz quadrada da variância):
    \sigma = \sqrt{4{,}96} \approx 2{,}228\ldots \approx 2{,}23\\ (\text{arredondando para duas casas}).

Passo 7

Como construir o histograma (instruções práticas e valores numéricos que você pode desenhar à mão ou em software).
  • Como os intervalos têm mesma largura h=2, o histograma tem barras com largura 2 e alturas proporcionais às frequências f (não precisamos usar densidade porque as larguras são iguais).
  • Eixos:
    • Eixo horizontal: notas (de 0 a 10).
    • Eixo vertical: frequência (número de alunos).
  • Barras (cada barra é um retângulo com largura 2 e altura igual à frequência da classe):
    • Barra para 0\le x<2: retângulo entre x=0 e x=2 com altura 1.
    • Barra para 2\le x<4: retângulo entre x=2 e x=4 com altura 6.
    • Barra para 4\le x<6: retângulo entre x=4 e x=6 com altura 9.
    • Barra para 6\le x<8: retângulo entre x=6 e x=8 com altura 8.
    • Barra para 8\le x\le 10: retângulo entre x=8 e x=10 com height 6.
  • Dicas de desenho:
    • Coloque marcações do eixo y em 0,1,2,\dots,9 pelo menos até 9.
    • As barras devem ficar lado a lado (sem espaçamento) porque classes são contíguas.
    • Se for fazer no papel, trace retângulos com as alturas dadas; se em software, use uma função de histograma com bins definidos em [0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10].

Passo 8

Como construir o polígono de frequências (e pontos numéricos para desenhar).
  • Polígono de frequências clássico: pontos no eixo vertical nas abscissas iguais aos pontos médios x_i com ordenadas iguais às frequências, e depois ligar por segmentos de reta.
  • Pontos a plotar (ponto médio, frequência):
    • (1,\,1)
    • (3,\,6)
    • (5,\,9)
    • (7,\,8)
    • (9,\,6)
  • Fechamento (opcional): muitos professores pedem fechar o polígono tocando o eixo x nas bordas externas. Para isso, adicionar os pontos:
    • (0,\,0) e (10,\,0),
      e então ligar em sequência (0,0) (1,1) (3,6) (5,9) (7,8) (9,6) (10,0).
  • Dicas de desenho:
    • Marque os pontos médios no eixo x, marque as alturas conforme frequência e ligue-os com segmentos retos.
    • Se desenhar sobre o histograma, o polígono passa pelo topo central de cada barra (pelo ponto médio da base).

Passo 9

Resumo final dos resultados calculados (numéricos, prontos para conferir).
  • Tabela de frequências organizada (resumida):
    • 0\le x<2: f=1, x_i=1, F=1.
    • 2\le x<4: f=6, x_i=3, F=7.
    • 4\le x<6: f=9, x_i=5, F=16.
    • 6\le x<8: f=8, x_i=7, F=24.
    • 8\le x\le 10: f=6, x_i=9, F=30.
  • Média: \bar{x}=5{,}8.
  • Mediana: \text{Mediana}\approx 5{,}78.
  • Moda: \text{Moda}=5{,}5.
  • Variância (populacional): \sigma^{2}=4{,}96.
  • Desvio padrão (populacional): \sigma\approx 2{,}23.

Resposta

Tabela de frequências:\newline
0\le x<2:\\ f=1,\\ x_i=1,\\ F=1\newline
2\le x<4:\\ f=6,\\ x_i=3,\\ F=7\newline
4\le x<6:\\ f=9,\\ x_i=5,\\ F=16\newline
6\le x<8:\\ f=8,\\ x_i=7,\\ F=24\newline
8\le x\le10:\\ f=6,\\ x_i=9,\\ F=30\newline
Média: \bar{x}=5{,}8\newline
Mediana: \text{Mediana}\approx 5{,}78\newline
Moda: \text{Moda}=5{,}5\newline
Variância: \sigma^{2}=4{,}96\newline
Desvio padrão: \sigma\approx 2{,}23\newline
Histograma: barras com intervalos [0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10] e alturas 1,6,9,8,6\newline
Polígono de frequências: pontos (1,1),(3,6),(5,9),(7,8),(9,6) (opcionalmente fechado com (0,0) e (10,0)).

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