Em uma classe as notas obtidas pelos alunos foram agrupadas da seguinte maneira:
( 1 aluno);
( 6 alunos);
( 9 alunos);
( 8 alunos);
( 6 alunos). A partir desses dados organize a tabela de frequências, calcule a média, a moda, mediana, a variância, o desvio padrão, o histograma e o poligono de frequências. (Valor: 10,0 pontos)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Perguntas do enunciado:
- Organizar a tabela de frequências dos intervalos dados.
- Calcular a média.
- Calcular a moda.
- Calcular a mediana.
- Calcular a variância.
- Calcular o desvio padrão.
- Construir o histograma.
- Construir o polígono de frequências.
-
Dados fornecidos (copiado do enunciado):
- Intervalo
a : aluno. - Intervalo
a : alunos. - Intervalo
a : alunos. - Intervalo
a : alunos. - Intervalo
a : alunos.
- Intervalo
-
Observações importantes usadas na resolução (sem resolver ainda):
- Os intervalos têm largura constante
. - Vou tratar os dados como dados agrupados (usar os pontos médios das classes para médias e variâncias).
- Total de observações será calculado como
soma das frequências.
- Os intervalos têm largura constante
Passo 2
Construção da tabela de frequências (classes, frequência
, ponto médio
, produto
, frequência acumulada
).
-
Classes e frequências (direto do enunciado):
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
-
-
Calculo dos pontos médios
de cada classe (ponto médio = (limite inferior + limite superior)/2): - Para
– : . - Para
– : . - Para
– : . - Para
– : . - Para
– : .
- Para
-
Agora os produtos
: -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Frequência acumulada
: -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Resumo em forma de tabela (linhas):
- Classe
: , , , . - Classe
: , , , . - Classe
: , , , . - Classe
: , , , . - Classe
: , , , .
- Classe
Passo 3
Cálculo da soma total
e da média aritmética (para dados agrupados usando pontos médios).
-
Soma das frequências:
-
Soma dos produtos
: -
Fórmula da média para dados agrupados:onde
é a média, é a frequência da -ésima classe, o ponto médio, e o total. -
Cálculo numérico:
-
Interpretação: a média aproximada das notas da turma é
.
Passo 4
Cálculo da mediana por interpolação (dados agrupados).
-
Primeiro localizar a classe mediana: a posição mediana para
observações é . Procuramos a primeira classe cuja frequência acumuladaseja . Observando da tabela: e . Logo a classe mediana é a terceira: . -
Fórmula da mediana para dados agrupados (interpolação linear dentro da classe):onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude (largura) da classe.
-
-
Valores:
-
(limite inferior da classe ), -
, -
, -
.
-
-
Substituindo:Arredondando para duas casas decimais:
.
Passo 5
Cálculo da moda para dados agrupados (fórmula da moda por interpolação na classe modal).
-
Identificar a classe modal: é a classe com maior frequência
. Observando as frequências: — a maior é , portanto a classe modal é (mesma classe que a mediana neste caso). -
Fórmula da moda (dados agrupados):onde:
-
é o limite inferior da classe modal, -
é a frequência da classe modal, -
é a frequência da classe anterior, -
é a frequência da classe seguinte, -
é a amplitude.
-
-
Valores:
-
, -
, -
(classe ), -
(classe ), -
.
-
-
Substituindo:
-
Resultado:
.
Passo 6
Cálculo da variância e do desvio padrão (tratando a turma como população; uso da fórmula de variância populacional para dados agrupados).
-
Justificativa do método: como os dados representam todas as notas de uma turma inteira (não estou extraindo uma amostra da turma), uso a variância populacional. A fórmula para variância populacional de dados agrupados é:onde
é a média calculada, os pontos médios, as frequências e o total. -
Já temos
. Calcular , e : - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
-
Soma dos termos
: -
Variância populacional:
-
Desvio padrão (raiz quadrada da variância):
Passo 7
Como construir o histograma (instruções práticas e valores numéricos que você pode desenhar à mão ou em software).
-
Como os intervalos têm mesma largura
, o histograma tem barras com largura e alturas proporcionais às frequências (não precisamos usar densidade porque as larguras são iguais). -
Eixos:
- Eixo horizontal: notas (de
a ). - Eixo vertical: frequência (número de alunos).
- Eixo horizontal: notas (de
-
Barras (cada barra é um retângulo com largura
e altura igual à frequência da classe): - Barra para
: retângulo entre e com altura . - Barra para
: retângulo entre e com altura . - Barra para
: retângulo entre e com altura . - Barra para
: retângulo entre e com altura . - Barra para
: retângulo entre e com height .
- Barra para
-
Dicas de desenho:
- Coloque marcações do eixo
em pelo menos até . - As barras devem ficar lado a lado (sem espaçamento) porque classes são contíguas.
- Se for fazer no papel, trace retângulos com as alturas dadas; se em software, use uma função de histograma com bins definidos em
.
- Coloque marcações do eixo
Passo 8
Como construir o polígono de frequências (e pontos numéricos para desenhar).
-
Polígono de frequências clássico: pontos no eixo vertical nas abscissas iguais aos pontos médios
com ordenadas iguais às frequências, e depois ligar por segmentos de reta. -
Pontos a plotar (ponto médio, frequência):
-
-
Fechamento (opcional): muitos professores pedem fechar o polígono tocando o eixo
nas bordas externas. Para isso, adicionar os pontos: -
e ,
e então ligar em sequência— — — — — — .
-
-
Dicas de desenho:
- Marque os pontos médios no eixo
, marque as alturas conforme frequência e ligue-os com segmentos retos. - Se desenhar sobre o histograma, o polígono passa pelo topo central de cada barra (pelo ponto médio da base).
- Marque os pontos médios no eixo
Passo 9
Resumo final dos resultados calculados (numéricos, prontos para conferir).
-
Tabela de frequências organizada (resumida):
-
: , , . -
: , , . -
: , , . -
: , , . -
: , , .
-
-
Média:
. -
Mediana:
. -
Moda:
. -
Variância (populacional):
. -
Desvio padrão (populacional):
.
Resposta
Tabela de frequências:\newline
\newline
\newline
\newline
\newline
\newline
Média: \newline
Mediana: \newline
Moda: \newline
Variância: \newline
Desvio padrão: \newline
Histograma: barras com intervalos e alturas
\newline
Polígono de frequências: pontos (opcionalmente fechado com
e
).
Média:
Mediana:
Moda:
Variância:
Desvio padrão:
Histograma: barras com intervalos
Polígono de frequências: pontos