Dada a amostra: 3,4,4,5,7,6,6,7,7,4,5,5,6,6,7,5,8,5,6,6, pede-se: (Valor: 6,0 pontos)
a) o rol;
b) a distribuição de frequência determinando a frequência absoluta, frequência relativa e frequências acumuladas. ( Obs. Os dados não são agrupados);
c) qual é a amplitude amostral;
d) calcule o desvio médio, a moda, a mediana e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com 20 observações e pede quatro coisas:
a) o rol (a amostra ordenada);
b) a distribuição de frequência (frequência absoluta, frequência relativa e frequências acumuladas) — os dados NÃO são agrupados;
c) a amplitude amostral;
d) calcular o desvio médio, a moda, a mediana e o desvio padrão.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
3,4,4,5,7,6,6,7,7,4,5,5,6,6,7,5,8,5,6,6

Passo 2

Construção do rol (ordenar os dados do menor para o maior). Para ordenar, conto quantas vezes aparece cada valor e depois escrevo na ordem crescente. O rol (amostra ordenada) é:
3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,8

Passo 3

Montagem da distribuição de frequência (definições rápidas e depois cálculo):
  • Frequência absoluta f_i: número de observações com determinado valor.
  • Frequência relativa p_i: p_i=\dfrac{f_i}{n}, onde n é o tamanho da amostra (aqui n=20). Usarei vírgula para decimais.
  • Frequência absoluta acumulada F_i: soma das frequências absolutas até aquele valor.
  • Frequência relativa acumulada P_i: soma das frequências relativas até aquele valor.
Agora calculo contando no rol:
Para x=3: f=1.
Para x=4: f=3.
Para x=5: f=5.
Para x=6: f=6.
Para x=7: f=4.
Para x=8: f=1.
Calculo das p_i com n=20:
p_3=\dfrac{1}{20}=0,05,\quad p_4=\dfrac{3}{20}=0,15,\quad p_5=\dfrac{5}{20}=0,25,
p_6=\dfrac{6}{20}=0,30,\quad p_7=\dfrac{4}{20}=0,20,\quad p_8=\dfrac{1}{20}=0,05.
Frequências acumuladas F_i e P_i (da menor para maior):
\begin{aligned} &\text{Para }3:\; F=1,\; P=0,05;\\\ &\text{Para }4:\; F=1+3=4,\; P=0,05+0,15=0,20;\\\ &\text{Para }5:\; F=4+5=9,\; P=0,20+0,25=0,45;\\\ &\text{Para }6:\; F=9+6=15,\; P=0,45+0,30=0,75;\\\ &\text{Para }7:\; F=15+4=19,\; P=0,75+0,20=0,95;\\\ &\text{Para }8:\; F=19+1=20,\; P=0,95+0,05=1,00. \end{aligned}

Passo 4

Cálculo da amplitude amostral (definição e cálculo):
  • Amplitude amostral A é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra: A=\max(x_i)-\min(x_i).
  • Aqui \max(x_i)=8 e \min(x_i)=3.
    Logo:
A=8-3=5.

Passo 5

Cálculo da média (é útil para desvio médio e desvio padrão):
  • Média aritmética \overline{x} é \overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
  • Para simplificar uso as contagens por valor: \sum x_i = \sum (\text{valor}\times f).
Calculo da soma usando as frequências:
\sum x_i = 3\cdot1 + 4\cdot3 + 5\cdot5 + 6\cdot6 + 7\cdot4 + 8\cdot1 = 3+12+25+36+28+8=112.
Então
\overline{x}=\dfrac{112}{20}=5,6.
Explicando as variáveis: x_i são as observações, n é 20, e \overline{x} é a média amostral.

Passo 6

Cálculo do desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média):
  • Definição: desvio médio D (ou MAD — mean absolute deviation) é
D=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\overline{x}|.
  • Vou usar as frequências por valor para somar mais rápido: calcule |x-\overline{x}|\times f para cada valor e some.
Cálculos por valor (usei \overline{x}=5,6):
\begin{aligned} &|3-5,6|=2,6\quad\Rightarrow\quad 2,6\cdot1=2,6,\\\ &|4-5,6|=1,6\quad\Rightarrow\quad 1,6\cdot3=4,8,\\\ &|5-5,6|=0,6\quad\Rightarrow\quad 0,6\cdot5=3,0,\\\ &|6-5,6|=0,4\quad\Rightarrow\quad 0,4\cdot6=2,4,\\\ &|7-5,6|=1,4\quad\Rightarrow\quad 1,4\cdot4=5,6,\\\ &|8-5,6|=2,4\quad\Rightarrow\quad 2,4\cdot1=2,4. \end{aligned}
Soma dos desvios absolutos:
2,6+4,8+3,0+2,4+5,6+2,4=20,8.
Portanto
D=\dfrac{20,8}{20}=1,04.
Interpretação: em média, cada observação difere da média 5,6 em 1,04 unidades.

Passo 7

Cálculo da moda (definição e escolha):
  • Moda é o(s) valor(es) com maior frequência absoluta.
  • Das frequências calculadas, 6 tem f=6, que é a maior. Logo a moda é
\text{Moda}=6.

Passo 8

Cálculo da mediana (definição e aplicação passo a passo):
  • Mediana é o valor central da amostra ordenada (rol). Se n é ímpar, é o elemento de posição \dfrac{n+1}{2}. Se n é par, é a média dos elementos nas posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1.
  • Aqui n=20 (par), então pego a média dos 10.º e 11.º elementos do rol.
Do rol (passo 2) os elementos são:
\begin{aligned} &\text{10.º elemento }=6,\\\ &\text{11.º elemento }=6. \end{aligned}ºº
Logo a mediana é
\text{Mediana}=\dfrac{6+6}{2}=6.

Passo 9

Cálculo do desvio padrão (explicando escolha entre amostral e populacional e fazendo as contas):
  • Há duas fórmulas possíveis: variância populacional (dividir por n) e variância amostral (dividir por n-1). Em estatística descritiva de uma amostra costuma-se usar o desvio padrão amostral s (denominador n-1) quando queremos estimar a variabilidade da população a partir da amostra. Vou calcular o desvio padrão amostral s.
  • Fórmula do desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}.
  • Para agilizar, calculo por valor distinto usando as frequências: para cada valor computo (x-\overline{x})^2\cdot f e somo.
Cálculos com \overline{x}=5,6:
\begin{aligned} &(3-5,6)^2 = (-2,6)^2=6,76\quad\Rightarrow\quad 6,76\cdot1=6,76,\\\ &(4-5,6)^2 = (-1,6)^2=2,56\quad\Rightarrow\quad 2,56\cdot3=7,68,\\\ &(5-5,6)^2 = (-0,6)^2=0,36\quad\Rightarrow\quad 0,36\cdot5=1,80,\\\ &(6-5,6)^2 = 0,4^2=0,16\quad\Rightarrow\quad 0,16\cdot6=0,96,\\\ &(7-5,6)^2 = 1,4^2=1,96\quad\Rightarrow\quad 1,96\cdot4=7,84,\\\ &(8-5,6)^2 = 2,4^2=5,76\quad\Rightarrow\quad 5,76\cdot1=5,76. \end{aligned}
Soma dos quadrados dos desvios:
SS=\;6,76+7,68+1,80+0,96+7,84+5,76=30,80.
Variância amostral:
s^2=\dfrac{SS}{n-1}=\dfrac{30,80}{19}\approx1,62105.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{1,62105}\approx1,273.
Observação: se alguém pedisse o desvio padrão populacional (dividindo por n=20) obteria \sqrt{30,8/20}=\sqrt{1,54}\approx1,241. Eu optei por relatar o valor amostral s porque o enunciado fala em “amostra”.

Resposta

a) Rol: 3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,8
b) Distribuição de frequência (valor \mid f_i \mid p_i \mid F_i \mid P_i):
3\mid 1\mid 0,05\mid 1\mid 0,05
4\mid 3\mid 0,15\mid 4\mid 0,20
5\mid 5\mid 0,25\mid 9\mid 0,45
6\mid 6\mid 0,30\mid 15\mid 0,75
7\mid 4\mid 0,20\mid 19\mid 0,95
8\mid 1\mid 0,05\mid 20\mid 1,00
c) Amplitude amostral: 5
d) Estatísticas pedidas:
\text{Desvio médio (MAD)}=1,04é
\text{Moda}=6
\text{Mediana}=6
\text{Desvio padrão (amostral) } s\approx1,273ã

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