Classificamos grupos de ordem
para um primo ímpar
.
(a) Assuma que
é um grupo de ordem
, onde
é um primo ímpar. Se
, mostre que
deve ter ordem
, ou
.
(b) Suponha que
tem um elemento de ordem
. Prove que
é isomórfico a
. Por isso,
é cíclico.
(c) Suponha que
não contém um elemento de ordem
. Mostre que
deve conter um elemento de ordem
.
(d) Suponha que
não contém um elemento de ordem
. Mostre que
deve conter um elemento de ordem 2.
(e) Seja
um subgrupo de
com ordem
e
tem ordem 2. Mostre que
.
(f) Suponha que
não contém um elemento de ordem
e
é um subgrupo de ordem
gerado por
. Se
é um elemento de ordem 2, então
para algum
.
(g) Suponha que
não contém um elemento de ordem
. Prove que
não é abeliano.
(h) Suponha que
não contém um elemento de ordem
e
é um subgrupo de ordem
gerado por
e
é um elemento de ordem 2. Mostre que podemos listar os elementos de
como
.
(i) Suponha que
não contém um elemento de ordem
e
é um subgrupo de ordem
gerado por
e
é um elemento de ordem 2. Prove que o produto
pode ser expresso unicamente como
para algum par de inteiros não negativos
. Assim, conclua que há apenas uma possibilidade para um grupo não-abeliano de ordem
, ou seja, o grupo diedral já visto.
(a) Assuma que
(b) Suponha que
(c) Suponha que
(d) Suponha que
(e) Seja
(f) Suponha que
(g) Suponha que
(h) Suponha que
(i) Suponha que
Passo 1
O enunciado trata da classificação de grupos
de ordem
com
primo ímpar. Vamos usar dois teoremas fundamentais de teoria de grupos: o Teorema de Lagrange (que diz que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo) e o Teorema de Cauchy (que garante a existência de elementos de ordem um primo divisor de
). A partir daí veremos que ou
é cíclico (caso exista elemento de ordem
) ou, na alternativa, temos um subgrupo de ordem
de índice 2 que é normal e um elemento de ordem 2, cabendo então mostrar que a única estrutura não abeliana possível é a do grupo diedral de ordem
.
Passo 2
(a) Como
, Lagrange garante que para todo
a ordem
divide
. Logo
Passo 3
(b) Se existe
com
, então
tem
elementos e portanto
. Logo
isto é,
é cíclico.
Passo 4
(c) Supondo que não haja elemento de ordem
, então
implica, por Cauchy, existência de
tal que
.
(d) Do mesmo modo, como
, Cauchy dá um elemento
com
.
Passo 5
(e) O subgrupo
tem ordem
, logo índice
. Subgrupos de índice 2 são normais, pois há apenas duas classes laterais. Assim
Passo 6
(f) A normalidade de
implica que
, então
Multiplicando à direita por
vem
Se
então
teria ordem
, o que contradiz a hipótese, logo
. Por outro lado, aplicando
-conjugação duas vezes mostra-se que
, de onde
. Assim
Passo 7
(g) Como
, o grupo não é abeliano.
Passo 8
(h) Cada elemento de
está em
ou em
. Logo podemos escrever todos os elementos na forma
Passo 9
(i) Para ver que o produto fecha nesse conjunto, seja
Se
é trivial. Se
, usamos
para obter
Como os expoentes são únicos módulo
e módulo 2, a escrita é única. Essa lei de produto coincide exatamente com a do grupo diedral de ordem
.
Resposta
Os únicos grupos de ordem
com
primo ímpar são:
– O cíclico , quando existe elemento de ordem
.
– O grupo diedral de ordem , quando não existe elemento de ordem
.
– O cíclico
– O grupo diedral de ordem