Classificamos grupos de ordem 2 p para um primo ímpar p.
(a) Assuma que G é um grupo de ordem 2 p, onde p é um primo ímpar. Se a in G, mostre que a deve ter ordem 1,2, p, ou 2 p.
(b) Suponha que G tem um elemento de ordem 2 p. Prove que G é isomórfico a Z2 p. Por isso, G é cíclico.
(c) Suponha que G não contém um elemento de ordem 2 p. Mostre que G deve conter um elemento de ordem p.
(d) Suponha que G não contém um elemento de ordem 2 p. Mostre que G deve conter um elemento de ordem 2.
(e) Seja P um subgrupo de G com ordem p e y in G tem ordem 2. Mostre que y P=P y.
(f) Suponha que G não contém um elemento de ordem 2 p e P=lang<= zrang<= é um subgrupo de ordem p gerado por z. Se y é um elemento de ordem 2, então y z=z^k y para algum 2 <= k<p.
(g) Suponha que G não contém um elemento de ordem 2 p. Prove que G não é abeliano.
(h) Suponha que G não contém um elemento de ordem 2 p e P=lang<= zrang<= é um subgrupo de ordem p gerado por z e y é um elemento de ordem 2. Mostre que podemos listar os elementos de G como z^i y^j mid 0 <= i<p, 0 <= j<2.
(i) Suponha que G não contém um elemento de ordem 2 p e P=lang<= zrang<= é um subgrupo de ordem p gerado por z e y é um elemento de ordem 2. Prove que o produto (z^i y^j)(z^r y^s) pode ser expresso unicamente como z^m y^n para algum par de inteiros não negativos m, n. Assim, conclua que há apenas uma possibilidade para um grupo não-abeliano de ordem 2 p, ou seja, o grupo diedral já visto.

Passo 1

O enunciado trata da classificação de grupos G de ordem 2p com p primo ímpar. Vamos usar dois teoremas fundamentais de teoria de grupos: o Teorema de Lagrange (que diz que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo) e o Teorema de Cauchy (que garante a existência de elementos de ordem um primo divisor de lvert Grvert). A partir daí veremos que ou G é cíclico (caso exista elemento de ordem 2p) ou, na alternativa, temos um subgrupo de ordem p de índice 2 que é normal e um elemento de ordem 2, cabendo então mostrar que a única estrutura não abeliana possível é a do grupo diedral de ordem 2p.

Passo 2

(a) Como lvert Grvert=2p, Lagrange garante que para todo ain G a ordem lvert arvert divide 2p. Logo
lvert arvertin1,2,p,2p

Passo 3

(b) Se existe ain G com lvert arvert=2p, então lang<= arang<= tem 2p elementos e portanto lang<= arang<==G. Logo
GcongZ2p,
isto é, G é cíclico.

Passo 4

(c) Supondo que não haja elemento de ordem 2p, então pmidlvert Grvert implica, por Cauchy, existência de zin G tal que lvert zrvert=p.
(d) Do mesmo modo, como 2midlvert Grvert, Cauchy dá um elemento yin G com lvert yrvert=2.

Passo 5

(e) O subgrupo P=lang<= zrang<= tem ordem p, logo índice [G:P]=2. Subgrupos de índice 2 são normais, pois há apenas duas classes laterais. Assim
yP=Py

Passo 6

(f) A normalidade de P implica que yzy^-1in P, então
yzy^-1=z^k para algum kin0,1,dots,p-1
Multiplicando à direita por y vem
yz=z^k y
Se kequiv1pmod p então yz teria ordem 2p, o que contradiz a hipótese, logo knotequiv1. Por outro lado, aplicando y-conjugação duas vezes mostra-se que k^2equiv1pmod p, de onde kequiv-1pmod p. Assim
yz=z^-1y

Passo 7

(g) Como yzneq zy, o grupo não é abeliano.

Passo 8

(h) Cada elemento de G está em P ou em yP. Logo podemos escrever todos os elementos na forma
,z^i y^jmid 0<= i<p, 0<= j<2

Passo 9

(i) Para ver que o produto fecha nesse conjunto, seja
(z^i y^j)(z^r y^s) =z^il(y^j z^rr)y^s
Se j=0 é trivial. Se j=1, usamos yz^r=z^-ry para obter
(z^i y)(z^r y^s) =z^i,z^-ry,y^s =z^,i-r,y^,1+s
Como os expoentes são únicos módulo p e módulo 2, a escrita é única. Essa lei de produto coincide exatamente com a do grupo diedral de ordem 2p.

Resposta

Os únicos grupos de ordem 2p com p primo ímpar são:
– O cíclico Z2p, quando existe elemento de ordem 2p.
– O grupo diedral de ordem 2p, quando não existe elemento de ordem 2p.

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