Seja
um anel e sejam
e
ideais em
tais que
.
(a) Mostre que para qualquer
e
em
, o sistema de equações
tem uma solução.
(b) Em adição, prove que quaisquer duas soluções do sistema são congruentes módulo
.
(c) Sejam
e
ideais em um anel
tais que
. Mostre que existe um isomorfismo de anel
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Se
é um anel e
, calcule
.
(a) Mostre que para qualquer
(b) Em adição, prove que quaisquer duas soluções do sistema são congruentes módulo
(c) Sejam
Se
Passo 1
O enunciado trata do “Teorema Chinês do Resto” para ideais
de um anel
com
. Precisamos usar o fato de que dessa soma igual a
vem a existência de elementos
e
tais que
e então
- mostrar que dado
existe com
- provar que duas soluções diferem por um elemento de
; - usar isso para construir o isomorfismo
Em seguida faremos o cálculo de
em qualquer anel, usando distributividade.
Passo 2
Como
existe
e
com
. Dados
, defina
Então
logo
porque
e
. Analogamente
o que dá
. Assim a solução existe.
Passo 3
Sejam
e
duas soluções, isto é,
Então
e
, ou seja,
logo
. Isso mostra a unicidade da solução módulo
.
Passo 4
Defina o homomorfismo de anéis
É claro que
é sobrejetor por causa do passo 2 (dada quaisquer classes em
e
escolhemos representantes
e obtemos
). O núcleo de
é
Pelo Teorema do Homomorfismo de anéis segue que
Passo 5
Em qualquer anel
, pela distributividade,
Resposta
(a) Usando
com
, a solução é
(b) Se
e
são soluções então
, logo
.
(c) O homomorfismo dado por
é sobrejetor e
, daí
(c) O homomorfismo
(d)