Seja R um anel e sejam I e J ideais em R tais que I+J=R.
(a) Mostre que para qualquer r e s em R, o sistema de equações
ll x equiv r & (bmod I) x equiv s & (bmod J)
tem uma solução.
(b) Em adição, prove que quaisquer duas soluções do sistema são congruentes módulo I cap J.
(c) Sejam I e J ideais em um anel R tais que I+J=R. Mostre que existe um isomorfismo de anel
R /(I cap J) cong R / I times R / J
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Se R é um anel e a, b, c, d in R, calcule (a+b)(c+d).

Passo 1

O enunciado trata do “Teorema Chinês do Resto” para ideais I,J de um anel R com I+J=R. Precisamos usar o fato de que dessa soma igual a R vem a existência de elementos uin I e vin J tais que
u+v=1,
e então
  1. mostrar que dado r,sin R existe xin R com
xequiv rpmod I, xequiv spmod J;
  1. provar que duas soluções diferem por um elemento de Icap J;
  2. usar isso para construir o isomorfismo
R/(Icap J)cong R/Itimes R/J
Em seguida faremos o cálculo de (a+b)(c+d) em qualquer anel, usando distributividade.

Passo 2

Como I+J=R existe uin I e vin J com u+v=1. Dados r,sin R, defina
x ;=; u,r ;+; v,s
Então
x - r ;=; u,r + v,s - r ;=; u,r - (1-v),r + v,s = u,r - u,r + v,(s-r) = v,(s-r)in J,
logo xequiv rpmod I porque vin Jsubseteq R e x-rin Jsubseteq I. Analogamente
x - s = u,(r-s)in I,
o que dá xequiv spmod J. Assim a solução existe.

Passo 3

Sejam x e y duas soluções, isto é,
xequiv rpmod I,;xequiv spmod J, yequiv rpmod I,;yequiv spmod J
Então x-yin I e x-yin J, ou seja,
x-yin Icap J,
logo xequiv ypmodIcap J. Isso mostra a unicidade da solução módulo Icap J.

Passo 4

Defina o homomorfismo de anéis
varphicolon R ;longrightarrow; R/Itimes R/J, varphi(x) = (,x bmod I,;x bmod J,)
É claro que varphi é sobrejetor por causa do passo 2 (dada quaisquer classes em R/I e R/J escolhemos representantes r,s e obtemos x). O núcleo de varphi é
kervarphi = ,xin Rmid xequiv0pmod I,;xequiv0pmod J = Icap J
Pelo Teorema do Homomorfismo de anéis segue que
R/(Icap J);cong;(R/Itimes R/J)

Passo 5

Em qualquer anel R, pela distributividade,
(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = ac + ad + bc + bd

Resposta

(a) Usando u+v=1 com uin I,vin J, a solução é
x = u,r + v,s
(b) Se x e y são soluções então x-yin Icap J, logo xequiv ypmodIcap J.
(c) O homomorfismo varphicolon Rto R/Itimes R/J dado por varphi(x)=(xbmod I,;xbmod J) é sobrejetor e kervarphi=Icap J, daí
R/(Icap J)cong R/Itimes R/J
(d)
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

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