Classificamos grupos de ordem
para um primo ímpar
.
(a) Assuma que
é um grupo de ordem
, onde
é um primo ímpar. Se
, mostre que
deve ter ordem
, ou
.
(b) Suponha que
tem um elemento de ordem
. Prove que
é isomórfico a
. Por isso,
é cíclico.
(c) Suponha que
não contém um elemento de ordem
. Mostre que
deve conter um elemento de ordem
.
(d) Suponha que
não contém um elemento de ordem
. Mostre que
deve conter um elemento de ordem 2.
(e) Seja
um subgrupo de
com ordem
e
tem ordem 2. Mostre que
.
(f) Suponha que
não contém um elemento de ordem
e
é um subgrupo de ordem
gerado por
. Se
é um elemento de ordem 2, então
para algum
.
(g) Suponha que
não contém um elemento de ordem
. Prove que
não é abeliano.
(h) Suponha que
não contém um elemento de ordem
e
é um subgrupo de ordem
gerado por
e
é um elemento de ordem 2. Mostre que podemos listar os elementos de
como
.
(i) Suponha que
não contém um elemento de ordem
e
é um subgrupo de ordem
gerado por
e
é um elemento de ordem 2. Prove que o produto
pode ser expresso unicamente como
para algum par de inteiros não negativos
. Assim, conclua que há apenas uma possibilidade para um grupo não-abeliano de ordem
, ou seja, o grupo diedral já visto.