Prove que (1,2, ldots, n)^-1=(n, n-1, n-2, ldots, 2,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no grupo simétrico Sn, a inversa do n-ciclo
sigma = (1,2,dots,n)
é exatamente o ciclo
tau = (n,n-1,dots,2,1)
O conteúdo aqui é permutações e ciclos em teoria de grupos: basta verificar que tau compõe com sigma para dar a identidade.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente como
Isso significa que , , \dots, e .

Passo 3

Analogamente, o ciclo
tau = (n,n-1,dots,2,1)
é a permutação que envia
tau(k) = k-1, & se 1 < k <= n, n, & se k = 1
Isto é, tau faz n mapsto (n-1), (n-1) mapsto (n-2), \dots, 2 mapsto 1 e 1 mapsto n.

Passo 4

Agora verificamos que tau realmente é a inversa de sigma. Para isso, basta checar que
sigmal(tau(k)r) = k e taul(sigma(k)r) = k
para todo k.
1. Se 1 < k <= n, então tau(k)=k-1 e portanto
sigmal(tau(k)r) =sigma(k-1) =(k-1)+1 =k
2. Se k=1, então tau(1)=n e
sigmal(tau(1)r) =sigma(n) =1 =k
Logo em todos os casos sigmacirctau atua como a identidade. Similarmente, verificamos taucircsigma=id.

Resposta

Como tau satisfaz sigmacirctau=taucircsigma=id, concluímos que
(1,2,dots,n)^-1=(n,n-1,dots,2,1)

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