Se D é um domínio de integridade e se n a=0 para algum a neq 0 em D e algum inteiro n neq 0, prove que D é de característica finita.

Passo 1

O enunciado afirma que D é um domínio de integridade (anel comutativo com unidade e sem divisores de zero) e que existe inteiro nneq0 e elemento aneq0 em D tais que
n,a=0
Queremos mostrar que a característica de D, definida como o menor inteiro positivo m com mcdot1=0 (se existir), é finita.

Passo 2

Lembrando a ação de um inteiro n sobre um elemento a do anel, temos por definição
n,a = underbrace1+1+cdots+1n vezes,a = (ncdot1),a
Portanto a condição n,a=0 pode ser reescrita como
(ncdot1),a=0

Passo 3

Como D não tem divisores de zero e aneq0, da igualdade
(ncdot1),a=0
segue necessariamente que
ncdot1=0
no anel D.

Passo 4

Pela definição de característica, char(D) é o menor inteiro positivo m tal que
mcdot1=0
Como já encontramos nneq0 com ncdot1=0, existe um menor m>0 que satisfaz mcdot1=0. Logo char(D)=m é um número finito e ainda divide n.

Resposta

char(D) é um inteiro positivo (o menor m>0 com mcdot1=0), portanto D tem característica finita.

Exercícios relacionados