Se
é um domínio de integridade e se
para algum
em
e algum inteiro
, prove que
é de característica finita.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um domínio de integridade (anel comutativo com unidade e sem divisores de zero) e que existe inteiro
e elemento
em
tais que
Queremos mostrar que a característica de
, definida como o menor inteiro positivo
com
(se existir), é finita.
Passo 2
Lembrando a ação de um inteiro
sobre um elemento
do anel, temos por definição
Portanto a condição
n,a=0 pode ser reescrita como
Passo 3
Como
D não tem divisores de zero e
aneq0 , da igualdade
segue necessariamente que
no anel
D .
Passo 4
Pela definição de característica,
char(D) é o menor inteiro positivo
m tal que
Como já encontramos
nneq0 com
ncdot1=0 , existe um menor
m>0 que satisfaz
mcdot1=0 . Logo
char(D)=m é um número finito e ainda divide
n .