Seja tau=(a1, a2, ldots, ak) um ciclo de tamanho k.
(a) Prove que se sigma é uma permutação qualquer, então
sigma tau sigma^-1=(sigma(a1), sigma(a2), ldots, sigma(ak))
é um ciclo de tamanho k.
(b) Seja mu um ciclo de tamanho k. Prove que existe uma permutação sigma tal que sigma tau sigma^-1=mu.

Passo 1

O enunciado define um ciclo
tau=(a1,a2,dots,ak)
e pede duas coisas:
(a) mostrar que para toda permutação sigma vale
sigma,tau,sigma^-1 =(sigma(a1),sigma(a2),dots,sigma(ak))
que é outro ciclo de tamanho k;
(b) dado qualquer ciclo mu de tamanho k, construir sigma tal que
sigma,tau,sigma^-1=mu.
Vamos usar a definição de conjugação e a ação de permutações sobre elementos.

Passo 2

Mostramos a fórmula de conjugação. Para todo x no conjunto subjacente,
(sigma,tau,sigma^-1)(x) =sigmal(tau(sigma^-1(x))r)
Agora, se x não está em sigma(a1),dots,sigma(ak), então sigma^-1(x) não está em a1,dots,ak, logo tau(sigma^-1(x))=sigma^-1(x) e assim
(sigma,tau,sigma^-1)(x)=sigma(sigma^-1(x))=x
Se x=sigma(ai) para algum i, então sigma^-1(x)=ai e tau(ai)=ai+1 (com ak+1=a1). Logo
(sigma,tau,sigma^-1)(sigma(ai)) =sigmal(tau(ai)r) =sigma(ai+1),
o que mostra que a ação de sigma,tau,sigma^-1 sobre cada sigma(ai) segue exatamente o ciclo
(sigma(a1),dots,sigma(ak)).

Passo 3

Como sigma,tau,sigma^-1 só move os pontos sigma(a1),dots,sigma(ak) no mesmo “giro” de tau, concluímos que
sigma,tau,sigma^-1=(sigma(a1),sigma(a2),dots,sigma(ak))
é de fato um ciclo de tamanho k.

Passo 4

Para (b), seja mu=(b1,b2,dots,bk) outro ciclo de tamanho k. Definimos sigma primeiro em a1,dots,ak por
sigma(ai)=bi, i=1,dots,k,
e estendemos sigma arbitrariamente a uma bijeção de todo o conjunto, por exemplo mapeando elementos fora de a1,dots,ak para os que faltam em b1,dots,bk.

Passo 5

Pelo passo anterior, para cada i temos
(sigma,tau,sigma^-1)(bi) =(sigma,tau,sigma^-1)(sigma(ai)) =sigma(ai+1) =bi+1,
com bk+1=b1, e elementos fora de b1,dots,bk ficam fixos. Portanto
sigma,tau,sigma^-1=(b1,b2,dots,bk)=mu,
como queríamos.

Resposta

(a) Já está demonstrado que
sigma,tau,sigma^-1 =(sigma(a1),sigma(a2),dots,sigma(ak)),
que é um ciclo de tamanho k.
(b) Dada mu=(b1,dots,bk), basta definir sigma(ai)=bi e estendê-la a uma bijeção, obtendo
sigma,tau,sigma^-1=mu.

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