Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(D.)
(D.)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação dada indicando a ordem e se ela é linear ou não linear. A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável dependente é
, função de . - A variável independente é
. - Aparece a derivada segunda de
, escrita como . - O lado direito
é uma função que depende só de .
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece na equação. Por exemplo:
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece na equação. Por exemplo:
- Se aparece até
(primeira derivada) a ordem é . - Se aparece
(segunda derivada) a ordem é .
Na nossa equação o termo de maior ordem é(segunda derivada), portanto a ordem é
Passo 3
O que significa “linear” para uma equação diferencial?
Uma equação diferencial de ordem é dita linear se pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial de ordem
onde cada coeficiente
depende somente da variável independente
(não depende de
nem de suas derivadas), e onde
e suas derivadas aparecem apenas com potência
e nunca multiplicadas entre si. Exemplos:
- Linear:
(coeficientes dependem só de ). - Não linear:
(produto entre e envolve a variável dependente como coeficiente).
Passo 4
Aplicando a definição à equação dada. Podemos tentar comparar com a forma linear para ver os coeficientes. A equação é
Se forçarmos a ver um coeficiente na frente de
, esse coeficiente seria
. Mas observe que
é a variável dependente, não a independente
. Logo o coeficiente depende de
, o que viola a condição de linearidade (os coeficientes só podem depender de
). Outra forma de ver: se dividirmos por
(quando
) obtemos
e o lado direito ainda depende de
(no denominador), mostrando explicitamente a não linearidade. Portanto a equação não é linear.
Passo 5
Resumo final do raciocínio didático:
- Identifiquei a maior derivada presente (
) → ordem . - Verifiquei a presença de
multiplicando , ou seja, o coeficiente da derivada depende de → isso quebra a forma linear (coeficientes devem depender somente de ) → não linear.
Resposta
Ordem:
. Não linear.