Classificar cada equação abaixo indicando a ordem e se é linear ou não linear.
(D.) y y_{x x}=\ln (x-1)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação dada indicando a ordem e se ela é linear ou não linear. A equação dada é
y\,y_{xx}=\ln(x-1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável dependente é y, função de x.
  • A variável independente é x.
  • Aparece a derivada segunda de y, escrita como y_{xx}.
  • O lado direito \ln(x-1) é uma função que depende só de x.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece na equação. Por exemplo:
  • Se aparece até y' (primeira derivada) a ordem é 1.
  • Se aparece y'' (segunda derivada) a ordem é 2.
    Na nossa equação o termo de maior ordem é y_{xx} (segunda derivada), portanto a ordem é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

O que significa “linear” para uma equação diferencial?
Uma equação diferencial de ordem n é dita linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde cada coeficiente a_i(x) depende somente da variável independente x (não depende de y nem de suas derivadas), e onde y e suas derivadas aparecem apenas com potência 1 e nunca multiplicadas entre si. Exemplos:
  • Linear: \;y'' + 2y' -3y = \sin x\; (coeficientes dependem só de x).
  • Não linear: \;y\,y'' = \sin x\; (produto entre y e y'' envolve a variável dependente como coeficiente).

Passo 4

Aplicando a definição à equação dada. Podemos tentar comparar com a forma linear para ver os coeficientes. A equação é
y\,y_{xx}=\ln(x-1).
Se forçarmos a ver um coeficiente na frente de y_{xx}, esse coeficiente seria a_2(x)=y. Mas observe que y é a variável dependente, não a independente x. Logo o coeficiente depende de y, o que viola a condição de linearidade (os coeficientes só podem depender de x). Outra forma de ver: se dividirmos por y (quando y\neq0) obtemos
y_{xx}=\frac{\ln(x-1)}{y},
e o lado direito ainda depende de y (no denominador), mostrando explicitamente a não linearidade. Portanto a equação não é linear.

Passo 5

Resumo final do raciocínio didático:
  • Identifiquei a maior derivada presente ( y_{xx}) → ordem 2.
  • Verifiquei a presença de y multiplicando y_{xx}, ou seja, o coeficiente da derivada depende de y → isso quebra a forma linear (coeficientes devem depender somente de x) → não linear.

Resposta

Ordem: 2. Não linear.

Exercícios relacionados