Classificar as E.D.O em lineares ou não lineares e dê a ordem de cada equação:
y y^{\prime}+2 y=1+x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y\,y' + 2\,y = 1 + x
e pede para classificá-la em linear ou não linear, além de informar sua ordem. Vamos usar:
  • A ordem é o maior grau de derivada que aparece.
  • Uma EDO é linear se puder ser escrita como
\underbrace{a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y}_{L[y]} = g(x)
com os coeficientes a_i dependendo só de x.

Passo 2

Identificamos a maior derivada presente: aparece apenas y' (derivada de primeira ordem). Portanto a ordem da EDO é 1.

Passo 3

Para checar linearidade, observamos o termo y\,y'. Se isolarmos y', teríamos
y' + \frac{2\,y}{y} = \frac{1+x}{y}\quad\Longrightarrow\quad y' + 2 = \frac{1+x}{y}.
O coeficiente de y' seria 1 (ok), mas o termo de “força” \frac{1+x}{y} depende de y. Além disso, na forma original o coeficiente de y' era y, que depende de y. Isso viola a linearidade (os coeficientes não podem depender de y). Logo a EDO é não linear.

Resposta

A equação diferencial é não linear e de primeira ordem.

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