Verifique se a função dada é uma solução da EDO :
\frac{d y}{d t}=25+y^{2} ; \quad y=y(t)=5 \tan(5 t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d t} = 25 + y^{2}
e propõe a função candidata
y(t) = 5 \tan\bigl(5t\bigr).
Vamos verificar se, ao derivar essa função, obtemos exatamente 25 + y^{2}.

Passo 2

Calcular a derivada de y(t). Como
y(t) = 5 \tan\bigl(5t\bigr),
usamos a regra da cadeia e a derivada de \tan(u) que é \operatorname{sec}^{2}(u). Logo,
\frac{d y}{d t} = 5 \cdot \frac{d}{d t}\bigl[\tan(5t)\bigr] = 5 \cdot \operatorname{sec}^{2}\bigl(5t\bigr)\cdot \frac{d}{d t}(5t) = 5 \cdot \operatorname{sec}^{2}\bigl(5t\bigr)\cdot 5 = 25\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(5t\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o lado direito 25 + y^{2}. Substituindo y=5\tan(5t),
25 + y^{2} = 25 + \bigl(5\tan(5t)\bigr)^{2} = 25 + 25\,\tan^{2}(5t) = 25\bigl(1 + \tan^{2}(5t)\bigr) = 25\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(5t\bigr),
pois 1+\tan^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u.

Passo 4

Como obtivemos
\frac{d y}{d t} = 25\,\operatorname{sec}^{2}(5t) \quad\text{e}\quad 25 + y^{2} = 25\,\operatorname{sec}^{2}(5t),
os dois lados são iguais, o que prova que \;y(t)=5\tan(5t)\;
é de fato solução da EDO dada.

Resposta

Sim, y(t)=5\tan(5t) satisfaz a equação \frac{dy}{dt}=25+y^{2}.

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