7- Prove que diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma função
é diferenciável num ponto
, então ela é contínua em
. Vamos usar as definições de derivada e de continuidade em termos de limite.
Passo 2
A definição de derivada em
é
e, por hipótese, esse limite existe e é finito.
Passo 3
Para
podemos escrever
Como
e
, pelas regras de limite de produto temos
Passo 4
A continuidade de
em
exige que
Fazendo
, isso equivale a
ou seja,
o que já foi demonstrado no passo anterior. Logo
é contínua em
.
Resposta
Se
é diferenciável em
, então
é contínua em
.