7- Prove que diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f\colon I\to\mathbb{R} é diferenciável num ponto a\in I, então ela é contínua em a. Vamos usar as definições de derivada e de continuidade em termos de limite.

Passo 2

A definição de derivada em a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
e, por hipótese, esse limite existe e é finito.

Passo 3

Para h\neq 0 podemos escrever
f(a+h)-f(a) =\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\,\cdot h.
Como \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) e \lim_{h\to0}h=0, pelas regras de limite de produto temos
\lim_{h\to0}\bigl[f(a+h)-f(a)\bigr] =\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\;\cdot\;\lim_{h\to0}h =f'(a)\cdot0 =0.

Passo 4

A continuidade de f em a exige que
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Fazendo x=a+h, isso equivale a
\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a),
ou seja,
\lim_{h\to0}\bigl[f(a+h)-f(a)\bigr]=0,
o que já foi demonstrado no passo anterior. Logo f é contínua em a.

Resposta

Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.

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