Classificar os pontos críticos da função:
f(x, y)=12 x-x^3-4 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para classificar os pontos críticos da função f(x, y) = 12x - x^3 - 4y^2 . Isso está no campo do cálculo multivariável, especialmente na parte de otimização de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar onde a função tem pontos críticos e, em seguida, analisar a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
fx(x, y) = partial fpartial x = 12 - 3x^2
fy(x, y) = partial fpartial y = -8y

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
12 - 3x^2 = 0 Rightarrow 3x^2 = 12 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
-8y = 0 Rightarrow y = 0
Então, temos dois pontos críticos: (2, 0) e (-2, 0) .

Passo 4

Para classificar esses pontos, vamos usar a matriz Hessiana, que envolve as derivadas segundas da função.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -8
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
A matriz Hessiana ( H ) fica assim:
H = fxx & fxy fxy & fyy = -6x & 0 0 & -8

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana para cada ponto crítico:
det(H) = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (-6x)(-8) - 0 = 48x
Vamos avaliar em cada ponto:
  1. Para (2, 0) :
det(H) = 48 cdot 2 = 96 > 0
fxx = -6 cdot 2 = -12 < 0
Como o determinante é positivo e fxx < 0 , o ponto é um máximo local.
  1. Para (-2, 0) :
det(H) = 48 cdot (-2) = -96 < 0
Como o determinante é negativo, esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função f(x, y) = 12x - x^3 - 4y^2 possui dois pontos críticos:
  • (2, 0) é um máximo local.
  • (-2, 0) é um ponto de sela.

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