Seja B=v1, v2, ldots, vn uma base de V e B^*=f1, f2, ldots, fn base de V^* dual de B. Mostre que dado f in V^* temos que
f=f(v1) f1+f(v2) f2+ldots+f(vn) fn
Dica: Como B^* é base de V^*, dado f in V^* tem-se f=alpha1 f1+ldots+alphan fn, mostre que alphai=f(vi) para i=1,2, ldots, n.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear e trata do espaço dual V^* de um espaço vetorial V de dimensão finita. Temos uma base B=v1,dots,vn de V e a base dual B^*=f1,dots,fn de V^*, cuja propriedade principal é\r
fi(vj) = de<aij, \r
onde de<aij é o delta de Kronecker. O objetivo é escrever um funcional linear arbitrário fin V^* na base B^* e encontrar suas coordenadas.

Passo 2

Como B^* é base de V^*, existe uma única sequência de escalares alpha1,dots,alphan tais que\r
f = alpha1f1 + alpha2f2 + cdots + alphanfn

Passo 3

Para determinar cada alphai, aplicamos a relação acima ao vetor vj. Assim,\r
f(vj) = l(alpha1f1 + cdots + alphanfnr)(vj) = alpha1f1(vj) + cdots + alphanfn(vj) \r
Pela definição de base dual, fi(vj)=de<aij, então todos os termos desaparecem, exceto alphaj. Logo,\r
f(vj) = alphaj

Passo 4

Concluímos que alphai=f(vi) para cada i=1,dots,n. Substituindo em f=sumi=1^nalphaifi, obtemos a decomposição desejada:\r
f = f(v1),f1 + f(v2),f2 + cdots + f(vn),fn

Resposta

f = sumi=1^n f(vi),fi

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