Seja
uma base de
e
base de
dual de
. Mostre que dado
temos que
Dica: Como
é base de
, dado
tem-se
, mostre que
para
.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear e trata do espaço dual
de um espaço vetorial
de dimensão finita. Temos uma base
de
e a base dual
de
, cuja propriedade principal é\r
onde
é o delta de Kronecker. O objetivo é escrever um funcional linear arbitrário
na base
e encontrar suas coordenadas.
Passo 2
Como
é base de
, existe uma única sequência de escalares
tais que\r
Passo 3
Para determinar cada
, aplicamos a relação acima ao vetor
. Assim,\r
Pela definição de base dual,
, então todos os termos desaparecem, exceto
. Logo,\r
Passo 4
Concluímos que
para cada
. Substituindo em
, obtemos a decomposição desejada:\r