Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
z=(x+y) e^x+2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais da função z = (x + y) e^x + 2y . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde estudamos como as funções mudam quando uma variável varia enquanto as outras permanecem constantes. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais usando as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como z = f(x, y) , a derivada parcial em relação a x mostra como z muda quando apenas x varia, mantendo y constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a y .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de z em relação a x , que vamos chamar de partial zpartial x .
Temos:
z = (x + y) e^x + 2y
Para derivar isso em relação a x , tratamos y como uma constante. Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' , onde u = (x + y) e v = e^x + 2y .
Primeiro, derivamos u em relação a x :
dudx = ddx(x + y) = 1
Depois, derivamos v em relação a x :
dvdx = ddx e^x + 2y = e^x + 2y cdot ddx(x + 2y) = e^x + 2y cdot 1 = e^x + 2y
Agora, aplicando a regra do produto:
partial zpartial x = dudx cdot v + u cdot dvdx = 1 cdot e^x + 2y + (x + y) cdot e^x + 2y
partial zpartial x = e^x + 2y (1 + x + y)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a y , que vamos chamar de partial zpartial y .
Novamente, temos:
z = (x + y) e^x + 2y
Dessa vez, derivamos em relação a y , tratando x como uma constante. Aplicamos novamente a regra do produto, com u = (x + y) e v = e^x + 2y .
Primeiro, derivamos u em relação a y :
dudy = ddy(x + y) = 1
Depois, derivamos v em relação a y :
dvdy = ddy e^x + 2y = e^x + 2y cdot ddy(x + 2y) = e^x + 2y cdot 2 = 2 e^x + 2y
Aplicando a regra do produto:
partial zpartial y = dudy cdot v + u cdot dvdy = 1 cdot e^x + 2y + (x + y) cdot 2 e^x + 2y
partial zpartial y = e^x + 2y (1 + 2x + 2y)

Resposta

As derivadas parciais da função z = (x + y) e^x + 2y são:
partial zpartial x = e^x + 2y (1 + x + y)
partial zpartial y = e^x + 2y (1 + 2x + 2y)

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