Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde estudamos como as funções mudam quando uma variável varia enquanto as outras permanecem constantes. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais usando as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como
, a derivada parcial em relação a
mostra como
muda quando apenas
varia, mantendo
constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, que vamos chamar de
.
Temos:
Para derivar isso em relação a
, tratamos
como uma constante. Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que vamos chamar de
.
Novamente, temos:
Dessa vez, derivamos em relação a
, tratando
como uma constante. Aplicamos novamente a regra do produto, com
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: