Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y das funções abaixo:
z=x^2+3 y^2+4 x y+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de z = x^2 + 3 y^2 + 4 x y + 1 em relação a x e y . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções de várias variáveis mantendo uma das variáveis constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a x , que é denotada por partial zpartial x . Aqui, tratamos y como uma constante.
A função é:
z = x^2 + 3 y^2 + 4 x y + 1
Derivando termo a termo em relação a x :
  • A derivada de x^2 em relação a x é 2x .
  • A derivada de 3 y^2 em relação a x é 0, já que y é constante.
  • A derivada de 4 x y em relação a x é 4 y .
  • A derivada de 1 em relação a x é 0.
Então, somando tudo:
partial zpartial x = 2x + 4y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a y , denotada por partial zpartial y . Aqui, tratamos x como uma constante.
Derivando termo a termo em relação a y :
  • A derivada de x^2 em relação a y é 0, já que x é constante.
  • A derivada de 3 y^2 em relação a y é 6y .
  • A derivada de 4 x y em relação a y é 4x .
  • A derivada de 1 em relação a y é 0.
Então, somando tudo:
partial zpartial y = 6y + 4x

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x + 4y
partial zpartial y = 6y + 4x

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