O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que, se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, o seu lucro total obtido pela venda dos sucos será dado pela expressão f(x, y)=-5 x^2+10 x y-20 x-7 y^2+240 y-5300. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um supermercado que vende duas marcas de suco de laranja: uma local e outra nacional. O dono quer saber qual o preço que ele deve cobrar por cada marca para maximizar o lucro. A função que representa o lucro é:
f(x, y) = -5x^2 + 10xy - 20x - 7y^2 + 240y - 5300
Aqui, x é o preço da marca local e y é o preço da marca nacional. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Precisamos encontrar os valores de x e y que fazem a função f(x, y) atingir seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y . As derivadas parciais mostram como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a x é:
partial fpartial x = -10x + 10y - 20
E a derivada parcial em relação a y é:
partial fpartial y = 10x - 14y + 240

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podemos ter um máximo ou mínimo), igualamos as derivadas parciais a zero:
-10x + 10y - 20 = 0
10x - 14y + 240 = 0
Temos agora um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar os valores de x e y .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos com a primeira equação:
-10x + 10y - 20 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 10:
-x + y - 2 = 0
y = x + 2
Agora, substituímos y = x + 2 na segunda equação:
10x - 14(x + 2) + 240 = 0
10x - 14x - 28 + 240 = 0
-4x + 212 = 0
-4x = -212
x = 53
Agora que temos x = 53 , substituímos de volta para encontrar y :
y = 53 + 2
y = 55

Passo 5

Pronto! Encontramos os valores de x e y que potencialmente maximizam o lucro. Mas, para termos certeza de que realmente é um máximo, precisamos verificar a segunda derivada ou usar o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Calculando as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = -10
partial^2 fpartial y^2 = -14
partial^2 fpartial x partial y = 10
O determinante da matriz Hessiana é:
D = ( partial^2 fpartial x^2 ) ( partial^2 fpartial y^2 ) - ( partial^2 fpartial x partial y )^2
D = (-10)(-14) - (10)^2
D = 140 - 100
D = 40
Como D > 0 e partial^2 fpartial x^2 < 0 , temos um máximo local.

Resposta

O dono do supermercado deve vender a marca local por 53 centavos e a marca nacional por 55 centavos para maximizar o lucro.

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