O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que, se cobrar
centavos pela garrafa da marca local e
centavos pela garrafa da marca nacional, o seu lucro total obtido pela venda dos sucos será dado pela expressão
. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um supermercado que vende duas marcas de suco de laranja: uma local e outra nacional. O dono quer saber qual o preço que ele deve cobrar por cada marca para maximizar o lucro. A função que representa o lucro é:
Aqui,
é o preço da marca local e
é o preço da marca nacional. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Precisamos encontrar os valores de
e
que fazem a função
atingir seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais mostram como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podemos ter um máximo ou mínimo), igualamos as derivadas parciais a zero:
Temos agora um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Começamos com a primeira equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 10:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora que temos
, substituímos de volta para encontrar
:
Passo 5
Pronto! Encontramos os valores de
e
que potencialmente maximizam o lucro. Mas, para termos certeza de que realmente é um máximo, precisamos verificar a segunda derivada ou usar o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Calculando as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana é:
Como
e
, temos um máximo local.
Resposta
O dono do supermercado deve vender a marca local por 53 centavos e a marca nacional por 55 centavos para maximizar o lucro.