Questão 2.
Dados os vetores v=(1,3,-5) e u=(4,-2,8), decomponha v como soma de v1 e v2, de tal forma que v1 seja paralelo a u e v2 ortogonal a u
Valor: 2 pontos

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec v=(1,3,-5) e vec u=(4,-2,8) e pede que escrevamos
vec v=vec v1+vec v2
de modo que vec v1 seja paralelo a vec u e vec v2 ortogonal a vec u.
O conteúdo aqui é a projeção ortogonal de vec v sobre vec u.

Passo 2

Calcular o produto escalar vec vcdotvec u e vec ucdotvec u:
vec vcdotvec u =1cdot4 + 3cdot(-2) + (-5)cdot8 =4 -6 -40 =-42,
vec ucdotvec u =4^2 + (-2)^2 + 8^2 =16 + 4 + 64 =84

Passo 3

O coeficiente da projeção é
alpha=vec vcdotvec uvec ucdotvec u =-4284 =-tfrac12
Então a parte de vec v paralela a vec u é
vec v1 =alpha,vec u =-tfrac12,(4,-2,8) =(-2,1,-4)

Passo 4

A parte de vec v ortogonal a vec u é
vec v2 =vec v - vec v1 =(1,3,-5)-(-2,1,-4) =(1+2,;3-1,;-5+4) =(3,2,-1)
Podemos conferir que vec v2cdotvec u=0.

Resposta

vec v1=(-2,1,-4), vec v2=(3,2,-1).

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