Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê‑la. A equação fornecida é
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
, função de . - O termo à direita
é uma constante (não depende de ); aqui é a unidade imaginária. - A equação envolve a derivada primeira de
.
As perguntas são: (1) qual a classificação da EDO? e (2) qual a solução geral?
Passo 2
Classificação detalhada (sem resolver ainda):
- Ordem: é de primeira ordem, porque aparece apenas
(derivada de ordem 1). - Linearidade: tem a forma
com e ; portanto é uma EDO linear de primeira ordem. - Homogeneidade: não é homogênea (é não homogeneística) porque
; é uma equação linear inhomogênea com coeficiente constante.
Conclusão da classificação: é uma EDO linear de primeira ordem, com coeficiente constante e termo fonte constante (complexo).
Passo 3
Escolha do método: para uma EDO linear de primeira ordem da forma
o método padrão e direto é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar esse método passo a passo:
- Definição do fator integrante
: é
- Propriedade chave: multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo num produto cuja derivada é simples:
- Depois integra‑se ambos os lados em
e isola‑se .
Vou aplicar isso com
e
.
Passo 4
Calcular o fator integrante:
Multiplicando a EDO por
:
Pela propriedade do fator integrante o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito,
é constante, então
onde
é a constante de integração (complexa, em geral). Assim obtemos
Dividindo por
(que nunca é zero) chega‑se à solução geral:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida:
- O termo
é a solução geral da equação homogênea . - O termo
é uma solução particular constante da equação inhomogênea (podemos verificar: se constante então e sobra ). - Como o termo fonte é complexo, as soluções em geral são complexas; caso se queira a solução real, toma‑se a parte real de
se devesse ser real e se o problema impuser condições que tornem a solução real. Note que , então .