Classificar e e resolvê-las as EDOs abaixo:
\frac{d y}{d x}+2 y=e^{-i}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê‑la. A equação fornecida é
\frac{dy}{dx}+2y=e^{-i}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é y, função de x.
  • O termo à direita e^{-i} é uma constante (não depende de x); aqui i é a unidade imaginária.
  • A equação envolve a derivada primeira de y.
    As perguntas são: (1) qual a classificação da EDO? e (2) qual a solução geral y(x)?

Passo 2

Classificação detalhada (sem resolver ainda):
  • Ordem: é de primeira ordem, porque aparece apenas \dfrac{dy}{dx} (derivada de ordem 1).
  • Linearidade: tem a forma \dfrac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x) com p(x)=2 e q(x)=e^{-i}; portanto é uma EDO linear de primeira ordem.
  • Homogeneidade: não é homogênea (é não homogeneística) porque q(x)=e^{-i}\neq0; é uma equação linear inhomogênea com coeficiente constante.
    Conclusão da classificação: é uma EDO linear de primeira ordem, com coeficiente constante e termo fonte constante (complexo).

Passo 3

Escolha do método: para uma EDO linear de primeira ordem da forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
o método padrão e direto é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar esse método passo a passo:
  • Definição do fator integrante \mu(x): é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Propriedade chave: multiplicando a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo num produto cuja derivada é simples:
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Depois integra‑se ambos os lados em x e isola‑se y.
Vou aplicar isso com p(x)=2 e q(x)=e^{-i}.

Passo 4

Calcular o fator integrante:
p(x)=2 \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=\exp\!\left(\int 2\,dx\right)=\exp(2x)=e^{2x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x)=e^{2x}:
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = e^{2x}e^{-i}.
Pela propriedade do fator integrante o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=e^{2x}e^{-i}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx = \int e^{2x}e^{-i}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{2x}y. No lado direito, e^{-i} é constante, então
\int e^{2x}e^{-i}\,dx = e^{-i}\int e^{2x}\,dx = e^{-i}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração (complexa, em geral). Assim obtemos
e^{2x}y = \frac{1}{2}e^{-i}e^{2x} + C.
Dividindo por e^{2x} (que nunca é zero) chega‑se à solução geral:
y(x)=C e^{-2x} + \frac{1}{2}e^{-i}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida:
  • O termo C e^{-2x} é a solução geral da equação homogênea \dfrac{dy}{dx}+2y=0.
  • O termo \dfrac{1}{2}e^{-i} é uma solução particular constante da equação inhomogênea (podemos verificar: se y= constante então \dfrac{dy}{dx}=0 e sobra 2y=e^{-i}\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}e^{-i}).
  • Como o termo fonte é complexo, as soluções em geral são complexas; caso se queira a solução real, toma‑se a parte real de y(x) se y devesse ser real e se o problema impuser condições que tornem a solução real. Note que e^{-i}=\cos(1)-i\sin(1), então \tfrac{1}{2}e^{-i}=\tfrac{1}{2}\cos(1)-\tfrac{i}{2}\sin(1).

Resposta

y(x)=C e^{-2x}+\dfrac{1}{2}e^{-i}

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