Classificar e resolver os sistemas
l 7 x-2 y+4 z=-15 9 x+3 y-3 z=0 x-4 y-z=-8

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique (ver se o sistema é compatível determinado, indeterminado ou incompatível) e encontre a solução do sistema linear
l 7x - 2y + 4z = -15, 9x + 3y - 3z = 0, x - 4y - z = -8
Para isso, vamos usar o cálculo de determinante para a classificação e eliminação/substituição para resolver.

Passo 2

Computar o determinante da matriz de coeficientes
A = 7 & -2 & 4 9 & 3 & -3 1 & -4 & -1
O determinante é
det(A) =7det3 & -3-4 & -1 -(-2)det9 & -31 & -1 +4det9 & 31 & -4
Calculando cada menor temos
det3 & -3-4 & -1 =3cdot(-1)-(-3)cdot(-4)=-3-12=-15,
det9 & -31 & -1 =9cdot(-1)-(-3)cdot1=-9+3=-6,
det9 & 31 & -4 =9cdot(-4)-3cdot1=-36-3=-39
Substituindo,
det(A)=7cdot(-15)-(-2)cdot(-6)+4cdot(-39)=-105-12-156=-273neq0
Como det(A)neq0, o sistema é compatível determinado (há única solução).

Passo 3

Para encontrar a solução, isole x na terceira equação:
x-4y-z=-8 Longrightarrow x=-8+4y+z

Passo 4

Substitua x=-8+4y+z nas duas primeiras equações:
7(-8+4y+z)-2y+4z=-15 Longrightarrow -56+28y+7z-2y+4z=-15 Longrightarrow 26y+11z=41,
9(-8+4y+z)+3y-3z=0 Longrightarrow -72+36y+9z+3y-3z=0 Longrightarrow 39y+6z=72
Isso gera o sistema em y e z:
26y+11z=41, 39y+6z=72

Passo 5

Resolva o sistema 2times 2. Por exemplo, elimine y: multiplique a primeira equação por 39 e a segunda por 26:
1014y+429z=1599, 1014y+156z=1872
Subtraindo a segunda da primeira:
273z=1599-1872=-273 Longrightarrow z=-1
Substitua z=-1 em 26y+11z=41:
26y+11(-1)=41 Longrightarrow 26y=52 Longrightarrow y=2

Passo 6

Agora encontre x usando x=-8+4y+z:
x=-8+4cdot2+(-1)=-8+8-1=-1

Resposta

O sistema é compatível determinado (determinante neq0) e possui solução única
(x,y,z)=(-1,,2,,-1)

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