Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas
l 2 x+4 y+2 z=a 3 x+8 y+5 z=b -3 x-4 y-1 z=c

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com incógnitas x,y,z e termos independentes a,b,c. O que queremos é a condição sobre a,b,c para que o sistema seja compatível (isto é, tenha solução). O conteúdo usado será o conceito de posto (rank) de matriz e o critério de compatibilidade: um sistema é compatível se, e somente se, o posto da matriz de coeficientes for igual ao posto da matriz ampliada.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes
A = 2 & 4 & 2 3 & 8 & 5 -3 & -4 & -1
Usando expansão pela primeira linha,
det A =2det8&5-4&-1 -4det3&5-3&-1 +2det3&8-3&-4
Calculando cada menor:
det8&5-4&-1=8cdot(-1)-5cdot(-4)=12,
det3&5-3&-1=3cdot(-1)-5cdot(-3)=12,
det3&8-3&-4=3cdot(-4)-8cdot(-3)=12
Logo,
det A=2cdot12-4cdot12+2cdot12=24-48+24=0

Passo 3

Como , a matriz é singular. Para determinar o posto de , basta verificar um menor não nulo, por exemplo
Isso mostra que . Portanto o sistema será compatível se, e somente se, a matriz ampliada também tiver posto 2 (e não 3).

Passo 4

A matriz ampliada é
Para garantir , é necessário que todo determinante desta ampliada seja zero. Tomamos o determinante da submatriz formada pelas três primeiras colunas trocando a última coluna por :
Fazendo expansão pela primeira linha:

Passo 5

Calculando cada termo:
8c - b(-4)=8c+4b, 3c - b(-3)=3c+3b, 3(-4)-8(-3)=12
Substituindo,
2(8c+4b)-4(3c+3b)+acdot12=16c+8b-12c-12b+12a=4c-4b+12a=0
Dividindo por 4, obtemos
3a - b + c = 0

Resposta

A condição de compatibilidade é
3a - b + c = 0

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