Classificar os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
1-x+2 x^2, x-x^2, x^2

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de polinômios em P2:
,p1(x)=1 - x + 2x^2,;p2(x)=x - x^2,;p3(x)=x^2,
e pede para classificar esse conjunto em linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar o teste de combinação linear nula.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear não trivial que anule todos os polinômios:
a,p1(x) + b,p2(x) + c,p3(x) = 0,para todo x
Substituindo p1,p2,p3 obtemos
a,(1 - x + 2x^2) ;+; b,(x - x^2) ;+; c,(x^2) ;=; 0

Passo 3

Reescrevendo o lado esquerdo por potências de x, temos
(a);+;( -a + b),x;+;(2a - b + c),x^2 ;=; 0
Como isso vale para todo x, os coeficientes em cada potência devem ser zero, gerando o sistema
a = 0, -,a + b = 0, 2a - b + c = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
a=0 Longrightarrow b=-(-a)=0 Longrightarrow c=-l(2a - br)=0
Logo a única solução é a=b=c=0, ou seja, não existe combinação linear não trivial que anule os polinômios.

Resposta

O conjunto ,1 - x + 2x^2,;x - x^2,;x^2 é linearmente independente (LI).

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