Seja S o subespaço de M2 times 2, S=[cca-b & 2 a a+b & -b], a, b in R, pergunta-se:
a) [ll5 & 6 1 & 2] pertence a S ?
b) Qual deve ser o valor de k para que o vetor [cc-4 & k 2 & -3] pertença a S ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = a - b & 2a [6pt] a + b & -b : a,binR
e pede:
a) verificar se
5 & 6 [4pt] 1 & 2
pertence a S;
b) achar o valor de k para que
-4 & k [4pt] 2 & -3
esteja em S.]

Passo 2

Para (a), igualamos as entradas de
5 & 6 [4pt] 1 & 2
à forma geral
a - b & 2a [4pt] a + b & -b
e obtemos o sistema
a - b = 5, 2a = 6, a + b = 1, -b = 2 ]

Passo 3

Resolvendo o sistema: de 2a=6 vem a=3. Substituindo em a-b=5 3 - b = 5 logo b=-2. Verificamos em a+b=1 e em -b=2:
3 + (-2)=1, -(-2)=2,
logo não há inconsistência.

Passo 4

Como existe solução (a,b)=(3,-2), concluímos que
5 & 6 [4pt] 1 & 2in S ]

Passo 5

Para (b), fazemos o mesmo com
-4 & k [4pt] 2 & -3
e a forma geral, gerando o sistema
a - b = -4, 2a = k, a + b = 2, -b = -3 ]

Passo 6

De -b=-3 vem b=3. Em a+b=2 obtemos a=-1. Finalmente, de 2a=k achamos
k = 2cdot(-1) = -2

Passo 7

Portanto, para que
-4 & k [4pt] 2 & -3
pertença a S, deve valer k=-2.]

Resposta

a) Sim, 5 & 6 [4pt] 1 & 2 pertence a S.
b) k = -2.]

Exercícios relacionados