Classificar em V ou F as sentenças:
a) (A-B) D varnothing
b) (A-B) cup(A cap B)=A
c) (A-B) subset B
d) (A-B) subset(A cup B)

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmações envolvendo os operadores de teoria de conjuntos: diferença A - B, união cup, interseção cap, disjunção (denotada por D) e inclusão subset. Vamos usar as definições:
  1. ;A - B = xmid xin A e xnotin B
  2. Dois conjuntos X e Y são disjuntos se e somente se Xcap Y=varnothing.
  3. Xsubset Y significa que todo elemento de X pertence a Y.

Passo 2

Analisando a) (A-B),D,varnothing.
Dizemos que (A-B) e varnothing são disjuntos se (A-B)capvarnothing=varnothing. Como a interseção de qualquer conjunto com varnothing é sempre varnothing, temos
(A-B)capvarnothing = varnothing,
logo a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando b) (A-B)cup (Acap B)=A.
Se xin (A-B)cup(Acap B), então ou xin A e xnotin B, ou xin A e xin B. Em ambos os casos xin A, logo
(A-B)cup(Acap B)subset A
Reciprocamente, se xin A, então ou xnotin B (caso em que xin A-B) ou xin B (caso em que xin Acap B). Logo xin (A-B)cup(Acap B). Assim
Asubset (A-B)cup(Acap B),
e portanto há igualdade. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando c) (A-B)subset B.
Se xin A-B, por definição xnotin B. Portanto não é possível que todo elemento de A-B esteja em B. Em geral essa inclusão falha, então a afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando d) (A-B)subset(Acup B).
Se xin A-B, temos xin A. Qualquer elemento de A pertence a Acup B. Logo
A-Bsubset Asubset (Acup B),
e a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) V
b) V
c) F
d) V

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