Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x +infty 4 x^3-2 x^2+13 x^3-5

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty4x^3-2x^2+13x^3-5
e, a partir desse resultado, indicar quando surge uma assíntota ao gráfico. O conteúdo aqui é limites de funções racionais e a existência de assíntota horizontal.

Passo 2

Para limites em xto+infty de funções racionais em que o numerador e o denominador têm o mesmo grau, dividimos todos os termos por x^3, o maior grau comum:
4x^3-2x^2+13x^3-5 =x^3l(4-2/x+1/x^3r)x^3l(3-5/x^3r) =4-tfrac2x+tfrac1x^33-tfrac5x^3

Passo 3

Quando xto+infty, os termos tfrac2x, tfrac1x^3 e tfrac5x^3 tendem a zero. Logo,
limxto+infty4-tfrac2x+tfrac1x^33-tfrac5x^3 =4-0+03-0 =43

Passo 4

Como o limite em +infty é um número finito L=tfrac43, o gráfico da função tem uma assíntota horizontal dada por
y = 43
Em geral, sempre que
limxtopminftyf(x)=L
com L finito, o gráfico de f apresenta assíntota horizontal y=L.

Resposta

limxto+inftydfrac4x^3-2x^2+13x^3-5=tfrac43, e há assíntota horizontal y=tfrac43

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