Classifigive os sistemas: determinado, indeterminado, impossivel. No caso determinado, determire a soluc,ôs.
a) \left\{\begin{array}{l}18 k-6 y=4 \\\\ 9 x+3 y=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear
\begin{cases} 18x - 6y = 4,\\\\ 9x + 3y = 1, \end{cases}
identificando se é determinado, indeterminado ou impossível, e, no caso determinado, encontrar a solução. Aplicaremos a teoria de determinantes para sistemas 2\times2 e método de eliminação de variáveis.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 18 & -6\\\\ 9 & 3 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det(A) = 18\cdot3 - (-6)\cdot9 = 54 + 54 = 108 \neq 0.

Passo 3

Como \det(A)\neq0, o sistema é determinado, ou seja, possui única solução.

Passo 4

Para resolver, simplificamos a primeira equação dividindo ambos os lados por 2:
9x - 3y = 2,
e mantemos a segunda:
9x + 3y = 1.
Somando as duas equações elimina-se y:
(9x - 3y) + (9x + 3y) = 2 + 1 \quad\Longrightarrow\quad 18x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{6}.
Em seguida, substituímos x = \tfrac{1}{6} em 9x + 3y = 1:
9\cdot\tfrac{1}{6} + 3y = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2} + 3y = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3y = -\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{6}.

Resposta

O sistema é determinado e a solução é
x = \frac{1}{6},\quad y = -\frac{1}{6}.

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