(Questão 02 ) [ \mathbf{2 , 0} pontos] Dê o centro e o raio da superfície esférica S_{1}, concêntrica com a superfícia esférica S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+3 y-z=0 e que passa pelo ponto P=(2,2,0).
(a) C_{0}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-2,0\right) e raio r=\sqrt{\frac{27}{4}}
(b) C_{0}=\left(-\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2}\right) e raio r=\frac{\sqrt{27}}{2}
(c) C_{0}=\left(1,-\frac{2}{3}, \frac{1}{2}\right) e raio r=\frac{27}{2}
(d) C_{0}=\left(1,-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) e raio r=\sqrt{\frac{27}{2}}
(e) C_{0}=\left(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) e raio r=\frac{27}{4}

Passo 1

O enunciado dá a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+3y-z=0
e pede uma nova esfera S_{1} concêntrica a essa (mesmo centro) que passe por P=(2,2,0). Logo, precisamos achar o centro de S completando quadrados e depois calcular a distância desse centro até P.

Passo 2

Complete os quadrados em x, y e z:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1, \quad y^{2}+3y=(y+\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}, \quad z^{2}-z=(z-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}.
Substituindo na equação e agrupando constantes:
(x-1)^{2}+(y+\tfrac{3}{2})^{2}+(z-\tfrac{1}{2})^{2} -\Bigl(1+\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+(y+\tfrac{3}{2})^{2}+(z-\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{7}{2}.
Portanto o centro de S é
C=(1,\,-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Como S_{1} é concêntrica, seu centro é C_{0}=C=(1,-\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}). O raio r é a distância de C_{0} a P=(2,2,0):
r = \sqrt{(2-1)^{2} + \bigl(2-(-\tfrac{3}{2})\bigr)^{2} + (0-\tfrac{1}{2})^{2}} = \sqrt{1 + \bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{27}{2}}.

Resposta

(d) C_{0}=\bigl(1,-\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) e r=\sqrt{\tfrac{27}{2}}

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