Sabendo que o ponto (1,-3,-6, k) pertence ao plano (-1,-3,-2,2)+\operatorname{span}\{(-2,3,-1,3),(3,-3,-1,-2)\}, assinale o valor de k :
A) -3
B) -2
C) -1
D) 0
E) 1
F) 2
G) 3
H) 4

Passo 1

O enunciado diz que o ponto (1,-3,-6,k) pertence ao plano que passa por
A = (-1,-3,-2,2)
e é gerado pelos vetores
v = (-2,3,-1,3), \quad w = (3,-3,-1,-2).
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^4: um plano afim é dado por
A + \operatorname{span}\{v,w\},
ou seja, um ponto P pertence a esse plano se e somente se existem escalares a,b tais que
P = A + a\,v + b\,w.

Passo 2

Escrevendo
P = (1,-3,-6,k), \quad A + a\,v + b\,w = (-1,-3,-2,2) + a\,(-2,3,-1,3) + b\,(3,-3,-1,-2),
temos o sistema componente a componente:
\begin{cases} 1 = -1 -2a + 3b,\\\\ -3 = -3 + 3a -3b,\\\\ -6 = -2 -a -b,\\\ k = 2 + 3a -2b. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação
-3 = -3 + 3a - 3b \quad\Longrightarrow\quad 3a - 3b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = b.
Substituindo em
1 = -1 -2a + 3b \quad\Longrightarrow\quad 1 = -1 + (-2a +3a) \quad\Longrightarrow\quad 1 = -1 + a \quad\Longrightarrow\quad a = 2,
e portanto b = 2. Verificamos na terceira equação que -6 = -2 -2 -2 = -6, logo é consistente.

Passo 4

Agora, na expressão de k:
k = 2 + 3a - 2b = 2 + 3\cdot2 - 2\cdot2 = 2 + 6 - 4 = 4.

Resposta

4 (alternativa H)

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