Dadas as matrizes
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right) .
Calcule:
(a) 3 A+B-2 C.
(b) X tal que 2 X+2 A-3 B=0.

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes 2\times2,
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 3\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 2 & 0\end{pmatrix},
e pede duas coisas:
(a) calcular 3A + B - 2C usando operações de soma de matrizes e multiplicação escalar;
(b) encontrar a matriz X que satisfaz 2X + 2A - 3B = 0.

Passo 2

Vamos primeiro computar os termos escalares de (a):
3A = 3\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 6\\\ 3 & 9\end{pmatrix},
-2C = -2\cdot\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2\\\ -4 & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora somamos esses resultados com B:
3A + B = \begin{pmatrix}3 & 6\\\ 3 & 9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 6\\\ 3 & 10\end{pmatrix},
3A + B - 2C = \begin{pmatrix}2 & 6\\\ 3 & 10\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 2\\\ -4 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 8\\\ -1 & 10\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (b), pegamos a equação
2X + 2A - 3B = 0
e isolamos X:
2X = 3B - 2A \quad\Longrightarrow\quad X = \frac{3B - 2A}{2}.

Passo 5

Calculamos o numerador:
3B = 3\cdot\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix},\quad 2A = 2\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4\\\ 2 & 6\end{pmatrix},
3B - 2A = \begin{pmatrix}-3 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 4\\\ 2 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 & -4\\\ -2 & -3\end{pmatrix}.

Passo 6

Dividindo por 2, obtemos
X = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-5 & -4\\\ -2 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} & -2\\\ -1 & -\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle\begin{pmatrix}2 & 8\\\ -1 & 10\end{pmatrix}
(b) \displaystyle X = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} & -2\\\ -1 & -\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}

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