(Questão 01) [4,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) \vec{u} \cdot \vec{u}=\sqrt{\|\vec{u}\|}.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é base, então ( \vec{u}, 2 \vec{v}, 3 \vec{w} ) é também base.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é LI, então ( \vec{u}, \vec{v} ) tanto pode ser LD como LI.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LI} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LI}.
( ) Se \vec{u} \perp \vec{v} e \vec{w} \neq \overrightarrow{0}, então, \vec{w}=\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{w}+\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u}, \vec{v},\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v}\right\|=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Passo 1
O enunciado pede para identificar se cada afirmação sobre vetores em \mathbb{R}^n é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido inclui produto escalar, norma, independência e base de vetores, projeção ortogonal e desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Para a afirmação \vec{u} \cdot \vec{u} = \sqrt{\|\vec{u}\|}, lembramos que
\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2
e não \sqrt{\|\vec{u}\|}. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 3
A desigualdade de Cauchy–Schwarz garante que, para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},
Se (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é base, então seus vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço. Multiplicar \vec{v} por 2 e \vec{w} por 3 (escalares não nulos) mantém independência e geração. Portanto, a terceira afirmação é verdadeira.
Passo 5
Um subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Como (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LI, o par (\vec{u}, \vec{v}) não pode ser LD. Logo, a quarta afirmação é falsa.
Passo 6
Por definição em \mathbb{R}^n, \vec{u} \cdot \vec{v}=0 se e somente se \vec{u} é perpendicular a \vec{v}. Assim, a quinta afirmação é verdadeira.
Passo 7
Ter (\vec{u}, \vec{v}) LI não garante que (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) seja LI para qualquer \vec{w}. Se \vec{w} estiver no span\{\vec{u},\vec{v}\}, o conjunto fica LD. Logo, a sexta afirmação é falsa.
só vale se \vec{w} pertencer ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}. No caso geral, \vec{w} pode ter componente fora desse plano. Portanto, a sétima afirmação é falsa.