(Questão 01) [4,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) \vec{u} \cdot \vec{u}=\sqrt{\|\vec{u}\|}.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é base, então ( \vec{u}, 2 \vec{v}, 3 \vec{w} ) é também base.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é LI, então ( \vec{u}, \vec{v} ) tanto pode ser LD como LI.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LI} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LI}.
( ) Se \vec{u} \perp \vec{v} e \vec{w} \neq \overrightarrow{0}, então, \vec{w}=\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{w}+\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u}, \vec{v},\left\|\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v}\right\|=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar se cada afirmação sobre vetores em \mathbb{R}^n é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido inclui produto escalar, norma, independência e base de vetores, projeção ortogonal e desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Para a afirmação \vec{u} \cdot \vec{u} = \sqrt{\|\vec{u}\|}, lembramos que
\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2
e não \sqrt{\|\vec{u}\|}. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 3

A desigualdade de Cauchy–Schwarz garante que, para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},
|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le \|\vec{u}\| \,\|\vec{v}\|.
Logo, a segunda afirmação é verdadeira.

Passo 4

Se (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é base, então seus vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço. Multiplicar \vec{v} por 2 e \vec{w} por 3 (escalares não nulos) mantém independência e geração. Portanto, a terceira afirmação é verdadeira.

Passo 5

Um subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Como (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LI, o par (\vec{u}, \vec{v}) não pode ser LD. Logo, a quarta afirmação é falsa.

Passo 6

Por definição em \mathbb{R}^n, \vec{u} \cdot \vec{v}=0 se e somente se \vec{u} é perpendicular a \vec{v}. Assim, a quinta afirmação é verdadeira.

Passo 7

Ter (\vec{u}, \vec{v}) LI não garante que (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) seja LI para qualquer \vec{w}. Se \vec{w} estiver no span \{\vec{u},\vec{v}\}, o conjunto fica LD. Logo, a sexta afirmação é falsa.

Passo 8

A decomposição
\vec{w} = \mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{w} + \mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}
só vale se \vec{w} pertencer ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}. No caso geral, \vec{w} pode ter componente fora desse plano. Portanto, a sétima afirmação é falsa.

Passo 9

A norma da projeção de \vec{v} sobre \vec{u} é
\bigl\|\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}\bigr\| = \frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{\|\vec{u}\|},
e não \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}. Logo, a oitava afirmação é falsa.

Resposta

F, V, V, F, V, F, F, F

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