Classifique a afirmação abaixo como verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
, para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a afirmação
é verdadeira ou falsa para todo número real
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, principalmente de equações polinomiais. Precisamos verificar se essa igualdade é válida para qualquer valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Para facilitar a análise, vamos reorganizar a equação igualando-a a zero:
Passo 3
Agora, vamos fatorar a expressão. Observamos que todos os termos têm
em comum:
Isso significa que a equação é verdadeira se
ou se
.
Passo 4
Vamos analisar cada parte:
-
: Então, para, a igualdade é verdadeira. -
:
Essa é uma equação polinomial de quarto grau que pode não ter soluções reais fáceis de encontrar sem métodos mais avançados. Mas para fins deste problema, o importante é perceber que existirão valores deque satisfazem essa parte da equação.
Passo 5
No entanto, a afirmação do enunciado diz que a igualdade
vale para todo
. Isso significa que a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de
. Mas já vimos que isso só acontece para
e alguns outros valores específicos que resolvem a equação quadrática. Para outros valores de
, a igualdade não se sustenta.
Resposta
Falso. A igualdade
não é verdadeira para todo número real
.