Classifique a afirmação abaixo como verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
x^2+x^4=x^6, para todo x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa para todo número real . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, principalmente de equações polinomiais. Precisamos verificar se essa igualdade é válida para qualquer valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
x^2 + x^4 = x^6
Para facilitar a análise, vamos reorganizar a equação igualando-a a zero:
x^6 - x^4 - x^2 = 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar a expressão. Observamos que todos os termos têm x^2(x^4 - x^2 - 1) = 0 em comum:
Isso significa que a equação é verdadeira se ou se .

Passo 4

Vamos analisar cada parte:
  1. x = 0 :
    Então, para , a igualdade é verdadeira.
  2. :
    Essa é uma equação polinomial de quarto grau que pode não ter soluções reais fáceis de encontrar sem métodos mais avançados. Mas para fins deste problema, o importante é perceber que existirão valores de que satisfazem essa parte da equação.

Passo 5

No entanto, a afirmação do enunciado diz que a igualdade vale para todo . Isso significa que a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de . Mas já vimos que isso só acontece para e alguns outros valores específicos que resolvem a equação quadrática. Para outros valores de , a igualdade não se sustenta.

Resposta

Falso. A igualdade não é verdadeira para todo número real .

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