Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=(2 x^3-4 x^2) cdot(3 x^5+x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente aplicando a regra do produto para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções polinomiais e como aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
  • f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
A regra do produto diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos agora derivar e separadamente.
Para :
  • A derivada de é
  • A derivada de é
    Então,
Para :
  • A derivada de é
  • A derivada de é
    Então,

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto usando as derivadas que encontramos:
f'(x) = (6x^2 - 8x) cdot (3x^5 + x^2) + (2x^3 - 4x^2) cdot (15x^4 + 2x)

Passo 5

Vamos multiplicar as expressões:
Primeiro, :
Então,
Segundo, :
Então,

Passo 6

Agora, somamos as duas expressões resultantes:
f'(x) = (18x^7 - 24x^6 + 6x^4 - 8x^3) + (30x^7 - 60x^6 + 4x^4 - 8x^3)
Vamos juntar os termos semelhantes:

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 48x^7 - 84x^6 + 10x^4 - 16x^3

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