Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
a) sigma(t)=(2,1, t), t in R.
c) sigma(t)=(2 cos t, 3 sen t, 5), t in[0,2 pi].
e) sigma(t)=(t^2-1,2, t), t in[0,+infty).

Passo 1

O enunciado pede para fazer um esboço das curvas definidas pelas funções vetoriais
a) sigma(t)=(2,1,t), tinR;
c) sigma(t)=(2cos t,3sin t,5), tin[0,2pi];
e) sigma(t)=(t^2-1,2,t), tin[0,+infty).
O conteúdo da matéria é geometria de curvas paramétricas em R^3: reconhecer linhas retas, curvas planas e superfícies, identificar planos constantes e projeções em planos coordenados para esboçar a forma de cada curva.

Passo 2

Analisando a curva a) sigma(t)=(2,1,t): as coordenadas x=2 e y=1 são constantes e z=t varia livremente. Isso significa que a curva é uma reta paralela ao eixo z que passa pelo ponto (2,1,0). No esboço em 3D desenhamos o ponto (2,1,0) no plano z=0 e traçamos uma linha vertical subindo e descendo infinitamente.

Passo 3

Analisando a curva c) sigma(t)=(2cos t,3sin t,5): a coordenada z=5 é constante, então toda a curva está contida no plano horizontal z=5. Projetando no plano xy temos
x=2cos t, y=3sin t,
que é uma elipse de semieixo maior 3 ao longo de y e semieixo menor 2 ao longo de x, centrada em (0,0). No esboço em 3D representamos uma elipse de dimensão 4times6 no plano z=5, começando em (2,0,5) para t=0 e indo no sentido anti-horário até t=2pi.

Passo 4

Analisando a curva e) sigma(t)=(t^2-1,2,t): aqui y=2 é constante, logo toda a curva está contida no plano vertical y=2. Projetando no plano xz obtemos a parábola
x=t^2-1, z=t,
ou seja, x=z^2-1. O vértice está em (x,z)=(-1,0) e a parábola abre para o lado positivo de x. No esboço em 3D desenhamos essa parábola no plano y=2, com eixo de simetria paralelo ao eixo z.

Resposta

a) Reta paralela ao eixo z que passa por (2,1,0).
c) Elipse de semieixos 2 em x e 3 em y, contida no plano z=5.
e) Parábola x=z^2-1 no plano y=2, com vértice em (-1,2,0) e eixo paralelo a z.

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