Nos exercícios 18 a 23 , encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotaçāo da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superficie.
Passo 1
Estamos lidando com superfícies de revolução: ao girar uma curva do plano em torno de um eixo, a coordenada que é perpendicular ao eixo se torna a “distância radial” num plano ortogonal ao eixo. Para substituir, sempre trocamos a variável que mede essa distância pela expressão
. Em cada exercício vamos usar isso para achar a equação da superfície em .
Passo 2
Para o exercício 18, a curva é
no plano
(ou seja,
), e o eixo de revolução é o eixo
.
Ao girar em torno de , a coordenada
numa dada altura
gera um círculo de raio
. Basta então substituir
Ao girar em torno de
na equação original. Assim obtemos a superfície de revolução:
Passo 3
Esboço da superfície de 18:
É um paraboloide circular de revolução, abrindo para cima no eixo .
É um paraboloide circular de revolução, abrindo para cima no eixo
- Se fizermos cortes horizontais em
constante, vemos círculos de raio . - Na direção vertical, o perfil na reta
é a parábola .
Passo 4
Para o exercício 21, a curva é
no plano
(ou seja,
), e o eixo de revolução é o eixo
.
Ao girar em torno de , a coordenada
gera um círculo de raio
. Substituímos
Ao girar em torno de
na expressão que define
. Como originalmente
, temos
Passo 5
Esboço da superfície de 21:
É um “sino” ou campânula gaussiana de revolução ao longo do eixo .
É um “sino” ou campânula gaussiana de revolução ao longo do eixo
- Para cada
, o raio transversal em vale . - Em
temos o maior círculo de raio 1, e conforme cresce, o raio decai exponencialmente.
Resposta
Exercício 18:
paraboloide circular abrindo para cima.
Exercício 21:
campânula gaussiana de revolução ao longo de
.