Nos exercícios 18 a 23 , encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotaçāo da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superficie.
& 18) x^2=4 y no plano x y, em torno do eixo y & 21) z=e^-x^2 no plano x z, em torno do eixo x

Passo 1

Estamos lidando com superfícies de revolução: ao girar uma curva do plano em torno de um eixo, a coordenada que é perpendicular ao eixo se torna a “distância radial” num plano ortogonal ao eixo. Para substituir, sempre trocamos a variável que mede essa distância pela expressão . Em cada exercício vamos usar isso para achar a equação da superfície em .

Passo 2

Para o exercício 18, a curva é
x^2 = 4y
no plano xy (ou seja, z=0), e o eixo de revolução é o eixo y.
Ao girar em torno de y, a coordenada x numa dada altura y gera um círculo de raio raizx^2+z^2. Basta então substituir
x^2 ;longrightarrow; x^2 + z^2
na equação original. Assim obtemos a superfície de revolução:
x^2 + z^2 = 4y

Passo 3

Esboço da superfície de 18:
É um paraboloide circular de revolução, abrindo para cima no eixo y.
  • Se fizermos cortes horizontais em y= constante, vemos círculos de raio raiz4y.
  • Na direção vertical, o perfil na reta z=0 é a parábola x^2=4y.

Passo 4

Para o exercício 21, a curva é
z = e^-x^2
no plano xz (ou seja, y=0), e o eixo de revolução é o eixo x.
Ao girar em torno de x, a coordenada z gera um círculo de raio raizy^2+z^2. Substituímos
z ;longrightarrow; raizy^2+z^2
na expressão que define z. Como originalmente z=e^-x^2, temos
raizy^2+z^2 ;=; e^-x^2 Longrightarrow y^2 + z^2 ;=; e^-2x^2

Passo 5

Esboço da superfície de 21:
É um “sino” ou campânula gaussiana de revolução ao longo do eixo x.
  • Para cada x, o raio transversal em (y,z) vale e^-x^2.
  • Em x=0 temos o maior círculo de raio 1, e conforme |x| cresce, o raio decai exponencialmente.

Resposta

Exercício 18:
boxedx^2 + z^2 = 4y,
paraboloide circular abrindo para cima.
Exercício 21:
boxedy^2 + z^2 = e^-2x^2,
campânula gaussiana de revolução ao longo de x.

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