Para quais valores de cada série abaixo é convergente?
(b) ;
13
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(a) ;
Passo 1
Temos dois problemas de séries infinitas.
– (b) Estudar a convergência de
como função do parâmetro real .
– (13a) Usar o teste de comparação por limites para analisar
Passo 2
Analisando domínio em (b): o termo geral é
logo precisamos de para todo . Isso exige
Caso contrário um dos denominadores se anula e a série não está nem definida.
Passo 3
Para , note que, a partir de algum , temos e então o sinal de é exatamente alternante. Além disso,
e para grande , e ainda
Passo 4
Pelos critérios de Leibniz (série alternante com termos que decrescem a zero), concluímos que, sempre que a série estiver bem definida (isto é, ), ela converge. Note que não há convergência absoluta pois
pois o exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o polinômio.
Passo 7
Como o limite é um número finito (0) e sum bn converge, pelo teste de comparação por limites concluímos que sum an também converge.
Resposta
(b) A série sumn=1^infty(-1)^nn+p
converge condicionalmente para todo pinR exceto -1,-2,-3,dots, pois nesses valores o denominador zeraria.
13(a) A série sumn=0^inftyn^22^n
converge, por comparação de limites com a série sum1/n^2.