Para quais valores de p cada série abaixo é convergente?
(b) sumn=1^infty (-1)^nn+p;
13
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(a) sumn=0^infty n^22^n;

Passo 1

Temos dois problemas de séries infinitas.
– (b) Estudar a convergência de
sumn=1^infty(-1)^nn+p
como função do parâmetro real p.
– (13a) Usar o teste de comparação por limites para analisar
sumn=0^inftyn^22^n,

Passo 2

Analisando domínio em (b): o termo geral é
(-1)^nn+p,
logo precisamos de n+pneq0 para todo n>=1. Isso exige
pneq -1,,-2,,-3,dots
Caso contrário um dos denominadores se anula e a série não está nem definida.

Passo 3

Para pnotin-1,-2,dots, note que, a partir de algum N, temos n+p>0 e então o sinal de tfrac(-1)^nn+p é exatamente alternante. Além disso,
an=1n+p>0, an+1=1n+1+p,
e para n grande an+1<an, e ainda
limntoinftyan=limntoinfty1n+p=0

Passo 4

Pelos critérios de Leibniz (série alternante com termos que decrescem a zero), concluímos que, sempre que a série estiver bem definida (isto é, pnotin-1,-2,dots), ela converge. Note que não há convergência absoluta pois
sumn=1^inftyl|tfrac(-1)^nn+pr| =sumn=1^infty1|n+p|simsumn=1^infty1n
diverge.

Passo 5

Agora a parte 13(a): seja
an=n^22^n, bn=1n^2
Sabemos que sum bn converge (série p-com p=2>1).

Passo 6

Calculemos
limntoinftyanbn =limntoinftytfracn^22^ntfrac1n^2 =limntoinftyn^42^n=0,
pois o exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o polinômio.

Passo 7

Como o limite é um número finito ( 0) e sum bn converge, pelo teste de comparação por limites concluímos que sum an também converge.

Resposta

(b) A série
sumn=1^infty(-1)^nn+p
converge condicionalmente para todo pinR exceto
-1,-2,-3,dots, pois nesses valores o denominador zeraria.
13(a) A série
sumn=0^inftyn^22^n
converge, por comparação de limites com a série sum1/n^2.

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