Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(c) ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) são sequências tais que \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0, então a \left(a_{n} b_{n}\right) é convergente;
(h) ( ) A sequência ( a_{n} ) definida por a_{1}=1 e a_{n+1}=\frac{n a_{n}}{n+1} é convergente;
(i) ( ) Se a_{n} \leq b_{n}, \forall n, tal que ( b_{n} ) é convergente, então ( a_{n} ) é convergente;
(j) ( ) Se ( \left|a_{n}\right| ) é convergente, então ( a_{n} ) é convergente;
(k) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n} \geq 0, \forall n, então \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{a_{n}} converge;
(l) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge;
(m) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=100}^{+\infty} a_{n} converge;
(n) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} b_{n}\right) converge;
(o) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge, então \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=L \neq 0;
§ ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}{ }^{2} diverge;
(q) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge e a_{n} \neq 0, \forall n \geq 1, então \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_{n}} converge;
® ( ) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência constante, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge;
(s) ( ) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0 e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} diverge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge.
(t) ( ) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty \mathrm{e} \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado pede que cada afirmação (a)–(t) seja classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), dando uma demonstração quando for verdadeira ou um contra‑exemplo quando for falsa. As informações que temos são apenas as próprias afirmações. Vou resolver cada item separadamente, explicando os conceitos usados e dando exemplos/construções completas.

Passo 2

Antes de começar com os itens, relembremos de forma simples e curta os conceitos que vamos usar (assim não preciso pular etapas depois):
  • Uma sequência (x_n) é limitada se existe M>0 tal que |x_n|\le M para todo n.
  • Uma sequência (x_n) é convergente para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Se existe limite finito, dizemos que converge.
  • Uma sequência é monótona crescente se x_{n+1}\ge x_n para todo n (decrescente se x_{n+1}\le x_n).
  • Para séries \sum a_n: se a série converge então os termos a_n necessariamente satisfazem \lim_{n\to\infty} a_n=0 (condição necessária, não suficiente).
  • Exemplos padrão úteis: (-1)^n é limitada mas não converge; a_n=n é monótona crescente e diverge para +\infty; a série harmônica \sum 1/n diverge embora 1/n\to0; a série \sum 1/n^2 converge.
Agora vou analisar item por item.

Passo 3

(a) Afirmação: ( ) Toda sequência limitada é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Considere a sequência (x_n) definida por x_n = (-1)^n. Essa sequência é limitada porque |x_n|\le 1 para todo n. No entanto, (x_n) não converge: tem duas subsequências com limites diferentes (a subsequência dos índices pares é constante 1 e a dos ímpares é constante -1), logo não existe limite único. Assim, nem toda sequência limitada converge.

Passo 4

(b) Afirmação: ( ) Toda sequência limitada é monótona.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A mesma sequência x_n = (-1)^n é limitada, mas não é monótona (os termos alternam entre -1 e 1). Outro exemplo simples: x_n = \sin(n) é limitada e não monótona. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

(c) Afirmação: ( ) Toda sequência monótona é limitada.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Considere x_n = n. Essa sequência é monótona crescente (pois x_{n+1}=n+1\ge n=x_n), mas não é limitada (tende a +\infty). Logo existe sequência monótona não limitada, a afirmação é falsa. Observação útil: existe um teorema importante: toda sequência monótona e limitada converge; mas monótona por si só não garante limite finito.

Passo 6

(d) Afirmação: ( ) Toda sequência divergente é não monótona.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome x_n = n novamente. Essa sequência diverge (vai para +\infty) e é monótona crescente. Portanto existem sequências divergentes que são monótonas; a afirmação que todo divergente é não monótono é falsa.

Passo 7

(e) Afirmação: ( ) Toda sequência convergente é monótona.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Considere x_n = \frac{(-1)^n}{n}. Então \lim_{n\to\infty} x_n = 0 (converge), mas não é monótona (os sinais alternam). Outro exemplo: x_n = \sin(1/n) converge para 0 e é aproximadamente 1/n para grandes n — esse é monótono a partir de certo N, mas não é obrigatório; o exemplo com alternância deixa claro que convergência não implica monotonia. Portanto falsa.

Passo 8

(f) Afirmação: ( ) Toda sequência divergente é não limitada.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A sequência x_n = (-1)^n diverge (não tem limite), mas é limitada ( |x_n|\le1). Logo existem sequências divergentes que são limitadas; a afirmação é falsa.

Passo 9

(g) Afirmação: ( ) Se \lim_{n\to\infty} a_n=0, então a sequência (a_n b_n) é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Não há hipótese sobre (b_n), então pode ser malcomportada. Tome a_n = 1/n (então a_n\to0) e b_n = (-1)^n n (essa (b_n) diverge). Então
a_n b_n = \frac{1}{n}\cdot (-1)^n n = (-1)^n,
que não converge. Assim, mesmo com a_n\to0, o produto pode não convergir sem hipóteses sobre (b_n). (Se (b_n) fosse limitada então a_n b_n\to0, por exemplo.)

Passo 10

(h) Afirmação: ( ) A sequência (a_n) definida por a_1=1 e a_{n+1}=\dfrac{n a_n}{n+1} é convergente.
Classificação: Verdadeira.
Demonstração e explicação passo a passo: Vou mostrar por indução uma fórmula explícita. Proponho que a_n=\dfrac{1}{n} para todo n\ge1. Para n=1 temos a_1=1=1/1 certo. Suponha que a_n=1/n; então
a_{n+1}=\frac{n a_n}{n+1}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}.
Assim por indução a_n=1/n para todo n. Então \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0. Portanto a sequência converge (para 0).

Passo 11

(i) Afirmação: ( ) Se a_n\le b_n para todo n e (b_n) é convergente, então (a_n) é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A desigualdade superior a_n\le b_n apenas dá um teto para a_n, não garante limite. Por exemplo, tome b_n=1 para todo n (sequência convergente com limite 1) e a_n=-n. Então a_n\le 1=b_n para todo n, mas (a_n) diverge para -\infty. Assim a hipótese não é suficiente e a afirmação é falsa. (Observação: se tivéssemos a desigualdade em ambos os lados, ou se a_n fosse também limitada inferiormente de forma adequada, poderíamos concluir algo — mas não com apenas a_n\le b_n.)

Passo 12

(j) Afirmação: ( ) Se (|a_n|) é convergente, então (a_n) é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A convergência de |a_n| não garante que a_n tenha um limite (pode oscilar de sinal). Por exemplo, a_n = (-1)^n tem |a_n|=1 que converge (para 1), mas a_n não converge. Observação útil: porém, se |a_n|\to0 então a_n\to0. Em geral, |a_n| convergente não implica a_n convergente.

Passo 13

(k) Afirmação: ( ) Se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge e a_n\ge 0 para todo n, então \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n} converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome a_n = \dfrac{1}{n^2}. Então a_n\ge0 e \sum a_n = \sum 1/n^2 converge (série p com p=2). Contudo \sqrt{a_n} = 1/n e \sum \sqrt{a_n} = \sum 1/n é a série harmônica que diverge. Logo a afirmação é falsa: a raiz quadrada pode aumentar os termos o bastante para fazer a série divergir.

Passo 14

(l) Afirmação: ( ) Se \sum a_n e \sum b_n divergem, então \sum (a_n+b_n) diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tomemos a_n = 1/n e b_n = -1/n. Ambas as séries \sum a_n e \sum b_n divergem (a primeira diverge para +\infty, a segunda para -\infty na soma parcial), porém a_n+b_n = 0 para todo n, então \sum (a_n+b_n) converge (é a soma constante 0). Assim a afirmação é falsa. Observação: duas séries divergentes podem “cancelar” termo a termo.

Passo 15

(m) Afirmação: ( ) Se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então \sum_{n=100}^{\infty} a_n converge.
Classificação: Verdadeira.
Demonstração e explicação: Remover um número finito de termos não altera a convergência de uma série. Se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n têm limite S. Para a série a partir de 100 as somas parciais são S_N - \sum_{n=1}^{99} a_n, que tendem para S - \sum_{n=1}^{99} a_n. Logo \sum_{n=100}^{\infty} a_n converge. Em geral qualquer “cauda” de uma série convergente também converge.

Passo 16

(n) Afirmação: ( ) Se \sum a_n e \sum b_n divergem, então \sum (a_n b_n) converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Não há relação geral que force convergência do produto termo a termo. Por exemplo, escolha a_n=b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Cada série \sum 1/\sqrt{n} diverge ( p=\tfrac12\le1). Mas o produto termo a termo é
a_n b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n},
e \sum 1/n é a série harmônica que também diverge. Esse exemplo mostra que a série do produto pode divergir; portanto a afirmação que ela sempre converge é falsa. (Nota: havia exemplos em que o produto converge, mas não há regra geral.)

Passo 17

(o) Afirmação: ( ) Se \sum a_n diverge, então \lim_{n\to\infty} a_n = L \neq 0.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A divergência de uma série não implica que os termos não tendam a zero. Um exemplo clássico é a série harmônica \sum 1/n, que diverge, mas seus termos a_n=1/n tendem a 0. Assim não é verdade que, se a série diverge, então os termos tenham limite diferente de zero. Pelo contrário, uma condição necessária para convergência da série é a_n\to0; a recíproca não vale.

Passo 18

§ Afirmação: ( ) Se \sum a_n diverge, então \sum a_n^2 diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome a_n = 1/n. A série \sum a_n = \sum 1/n diverge (harmônica). Mas a_n^2 = 1/n^2 e \sum 1/n^2 converge (série p com p=2). Portanto a afirmação é falsa.

Passo 19

(q) Afirmação: ( ) Se \sum a_n diverge e a_n\neq0 para todo n, então \sum \dfrac{1}{a_n} converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome a_n = 1/n. Então \sum a_n diverge (harmônica) e a_n\neq0. Mas \sum 1/a_n = \sum n claramente diverge (os termos nem sequer tendem a zero). Logo a conclusão é falsa. Sem hipóteses muito fortes sobre a_n não se pode deduzir convergência de \sum 1/a_n.

Passo 20

® Afirmação: ( ) Se (a_n) é uma sequência constante, então \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Se a_n é constante igual a c, a série é \sum c. Se c\neq0 então de fato \sum c diverge (as somas parciais crescem linearmente). Contudo se c=0 então \sum 0 converge (é 0). Assim nem toda sequência constante produz série divergente; portanto a afirmação universal é falsa. Observação: a afirmação só seria verdadeira se restringida a constantes c\neq0.

Passo 21

(s) Afirmação: ( ) Se \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=0 e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A hipótese \dfrac{a_n}{b_n}\to0 indica que a_n é de ordem assintoticamente menor que b_n. Mas se \sum b_n diverge, \sum a_n pode tanto divergir quanto convergir, dependendo de quão menores são os a_n. Exemplo: tome b_n=1/n (série divergente) e a_n=1/n^2. A razão \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{1/n^2}{1/n} = \dfrac{1}{n}\to0. No entanto \sum a_n = \sum 1/n^2 converge. Logo a conclusão que \sum a_n diverge é falsa.

Passo 22

(t) Afirmação: ( ) Se \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=+\infty e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A condição \dfrac{a_n}{b_n}\to+\infty significa que |a_n| é muito maior que |b_n| para n grande (assumindo sinais compatíveis). Se \sum b_n converge, não é possível garantir que \sum a_n também convergirá; frequentemente \sum a_n diverge. Exemplo simples: escolha b_n = 1/2^n (série geométrica convergente) e a_n = 1 para todo n. Então
\frac{a_n}{b_n} = \frac{1}{1/2^n} = 2^n \to +\infty,
mas \sum a_n = \sum 1 diverge. Assim a afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F
(k) F
(l) F
(m) V
(n) F
(o) F
§ F
(q) F
® F
(s) F
(t) F

Exercícios relacionados