Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(c) ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se
e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
(h) ( ) A sequência (
) definida por
e
é convergente;
(i) ( ) Se
, tal que (
) é convergente, então (
) é convergente;
(j) ( ) Se (
) é convergente, então (
) é convergente;
(k) ( ) Se
converge e
, então
converge;
(l) ( ) Se
e
divergem, então
diverge;
(m) ( ) Se
converge, então
converge;
(n) ( ) Se
e
divergem, então
converge;
(o) ( ) Se
diverge, então
;
§ ( ) Se
diverge, então
diverge;
(q) ( ) Se
diverge e
, então
converge;
® ( ) Se
é uma sequência constante, então
diverge;
(s) ( ) Se
e
diverge, então
diverge.
(t) ( ) Se
converge, então
converge.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(c) ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se
(h) ( ) A sequência (
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se (
(k) ( ) Se
(l) ( ) Se
(m) ( ) Se
(n) ( ) Se
(o) ( ) Se
§ ( ) Se
(q) ( ) Se
® ( ) Se
(s) ( ) Se
(t) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede que cada afirmação (a)–(t) seja classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), dando uma demonstração quando for verdadeira ou um contra‑exemplo quando for falsa. As informações que temos são apenas as próprias afirmações. Vou resolver cada item separadamente, explicando os conceitos usados e dando exemplos/construções completas.
Passo 2
Antes de começar com os itens, relembremos de forma simples e curta os conceitos que vamos usar (assim não preciso pular etapas depois):
- Uma sequência
é limitada se existe tal que para todo . - Uma sequência
é convergente para se, para todo , existe tal que para todo . Se existe limite finito, dizemos que converge. - Uma sequência é monótona crescente se
para todo (decrescente se ). - Para séries
: se a série converge então os termos necessariamente satisfazem (condição necessária, não suficiente). - Exemplos padrão úteis:
é limitada mas não converge; é monótona crescente e diverge para ; a série harmônica diverge embora ; a série converge.
Agora vou analisar item por item.
Passo 3
(a) Afirmação: ( ) Toda sequência limitada é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Considere a sequência
definida por
. Essa sequência é limitada porque
para todo
. No entanto,
não converge: tem duas subsequências com limites diferentes (a subsequência dos índices pares é constante
e a dos ímpares é constante
), logo não existe limite único. Assim, nem toda sequência limitada converge.
Passo 4
(b) Afirmação: ( ) Toda sequência limitada é monótona.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A mesma sequência
é limitada, mas não é monótona (os termos alternam entre
e
). Outro exemplo simples:
é limitada e não monótona. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 5
(c) Afirmação: ( ) Toda sequência monótona é limitada.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Considere
. Essa sequência é monótona crescente (pois
), mas não é limitada (tende a
). Logo existe sequência monótona não limitada, a afirmação é falsa. Observação útil: existe um teorema importante: toda sequência monótona e limitada converge; mas monótona por si só não garante limite finito.
Passo 6
(d) Afirmação: ( ) Toda sequência divergente é não monótona.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome
novamente. Essa sequência diverge (vai para
) e é monótona crescente. Portanto existem sequências divergentes que são monótonas; a afirmação que todo divergente é não monótono é falsa.
Passo 7
(e) Afirmação: ( ) Toda sequência convergente é monótona.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Considere
. Então
(converge), mas não é monótona (os sinais alternam). Outro exemplo:
converge para
e é aproximadamente
para grandes
— esse é monótono a partir de certo
, mas não é obrigatório; o exemplo com alternância deixa claro que convergência não implica monotonia. Portanto falsa.
Passo 8
(f) Afirmação: ( ) Toda sequência divergente é não limitada.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A sequência
diverge (não tem limite), mas é limitada (
). Logo existem sequências divergentes que são limitadas; a afirmação é falsa.
Passo 9
(g) Afirmação: ( ) Se
, então a sequência
é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Não há hipótese sobre
, então pode ser malcomportada. Tome
(então
) e
(essa
diverge). Então
que não converge. Assim, mesmo com
, o produto pode não convergir sem hipóteses sobre
. (Se
fosse limitada então
, por exemplo.)
Passo 10
(h) Afirmação: ( ) A sequência
definida por
e
é convergente.
Classificação: Verdadeira.
Demonstração e explicação passo a passo: Vou mostrar por indução uma fórmula explícita. Proponho que
para todo
. Para
temos
certo. Suponha que
; então
Assim por indução
para todo
. Então
. Portanto a sequência converge (para
).
Passo 11
(i) Afirmação: ( ) Se
para todo
e
é convergente, então
é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A desigualdade superior
apenas dá um teto para
, não garante limite. Por exemplo, tome
para todo
(sequência convergente com limite
) e
. Então
para todo
, mas
diverge para
. Assim a hipótese não é suficiente e a afirmação é falsa. (Observação: se tivéssemos a desigualdade em ambos os lados, ou se
fosse também limitada inferiormente de forma adequada, poderíamos concluir algo — mas não com apenas
.)
Passo 12
(j) Afirmação: ( ) Se
é convergente, então
é convergente.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A convergência de
não garante que
tenha um limite (pode oscilar de sinal). Por exemplo,
tem
que converge (para
), mas
não converge. Observação útil: porém, se
então
. Em geral,
convergente não implica
convergente.
Passo 13
(k) Afirmação: ( ) Se
converge e
para todo
, então
converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome
. Então
e
converge (série
com
). Contudo
e
é a série harmônica que diverge. Logo a afirmação é falsa: a raiz quadrada pode aumentar os termos o bastante para fazer a série divergir.
Passo 14
(l) Afirmação: ( ) Se
e
divergem, então
diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tomemos
e
. Ambas as séries
e
divergem (a primeira diverge para
, a segunda para
na soma parcial), porém
para todo
, então
converge (é a soma constante
). Assim a afirmação é falsa. Observação: duas séries divergentes podem “cancelar” termo a termo.
Passo 15
(m) Afirmação: ( ) Se
converge, então
converge.
Classificação: Verdadeira.
Demonstração e explicação: Remover um número finito de termos não altera a convergência de uma série. Se
converge, então as somas parciais
têm limite
. Para a série a partir de
as somas parciais são
, que tendem para
. Logo
converge. Em geral qualquer “cauda” de uma série convergente também converge.
Passo 16
(n) Afirmação: ( ) Se
e
divergem, então
converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Não há relação geral que force convergência do produto termo a termo. Por exemplo, escolha
. Cada série
diverge (
). Mas o produto termo a termo é
e
é a série harmônica que também diverge. Esse exemplo mostra que a série do produto pode divergir; portanto a afirmação que ela sempre converge é falsa. (Nota: havia exemplos em que o produto converge, mas não há regra geral.)
Passo 17
(o) Afirmação: ( ) Se
diverge, então
.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A divergência de uma série não implica que os termos não tendam a zero. Um exemplo clássico é a série harmônica
, que diverge, mas seus termos
tendem a
. Assim não é verdade que, se a série diverge, então os termos tenham limite diferente de zero. Pelo contrário, uma condição necessária para convergência da série é
; a recíproca não vale.
Passo 18
§ Afirmação: ( ) Se
diverge, então
diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome
. A série
diverge (harmônica). Mas
e
converge (série
com
). Portanto a afirmação é falsa.
Passo 19
(q) Afirmação: ( ) Se
diverge e
para todo
, então
converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Tome
. Então
diverge (harmônica) e
. Mas
claramente diverge (os termos nem sequer tendem a zero). Logo a conclusão é falsa. Sem hipóteses muito fortes sobre
não se pode deduzir convergência de
.
Passo 20
® Afirmação: ( ) Se
é uma sequência constante, então
diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: Se
é constante igual a
, a série é
. Se
então de fato
diverge (as somas parciais crescem linearmente). Contudo se
então
converge (é
). Assim nem toda sequência constante produz série divergente; portanto a afirmação universal é falsa. Observação: a afirmação só seria verdadeira se restringida a constantes
.
Passo 21
(s) Afirmação: ( ) Se
e
diverge, então
diverge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A hipótese
indica que
é de ordem assintoticamente menor que
. Mas se
diverge,
pode tanto divergir quanto convergir, dependendo de quão menores são os
. Exemplo: tome
(série divergente) e
. A razão
. No entanto
converge. Logo a conclusão que
diverge é falsa.
Passo 22
(t) Afirmação: ( ) Se
e
converge, então
converge.
Classificação: Falsa.
Contra‑exemplo e explicação: A condição
significa que
é muito maior que
para
grande (assumindo sinais compatíveis). Se
converge, não é possível garantir que
também convergirá; frequentemente
diverge. Exemplo simples: escolha
(série geométrica convergente) e
para todo
. Então
mas
diverge. Assim a afirmação é falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F
(k) F
(l) F
(m) V
(n) F
(o) F
§ F
(q) F
® F
(s) F
(t) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F
(k) F
(l) F
(m) V
(n) F
(o) F
§ F
(q) F
® F
(s) F
(t) F