Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
y^{\prime}=2 y+e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 2y + e^{x}
e pede para determinar as soluções dessa equação (ou seja, a solução geral). As informações relevantes são:
  • A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é \,e^{x}\,.

Passo 2

Vou explicar o tipo de equação e o plano de ataque, sem resolver ainda. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas. Aqui podemos escrever a equação como
y' - 2y = e^{x},
logo p(x) = -2 e q(x)=e^{x}.
Dois métodos clássicos para resolver são:
  • resolver a equação homogênea e achar uma solução particular (superposição);
  • usar o fator integrante.
Como o termo não homogêneo é uma exponencial simples e^{x} e a solução da homogênea será e^{2x}, o método por solução homogênea + tentativa de solução particular (coeficientes indeterminados) é direto e simples. Vou usar esse método e, depois, mostrar rapidamente o fator integrante como verificação.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y'_h = 2y_h.
Isto é uma equação separável. Escreve-se
\frac{dy_h}{y_h} = 2\,dx.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dy_h}{y_h} = \int 2\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y_h| = 2x + C_1.
Exponenciando:
y_h = C e^{2x},
onde C é uma constante arbitrária (absorvi e^{C_1} em C). Essa é a solução geral da homogênea.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa. Como o termo forçante é \,e^{x}\,, tento uma solução da forma
y_p = A e^{x},
onde A é constante desconhecida. Justificação curta: escolhe-se uma forma igual ao forçamento quando essa não coincide com a solução homogênea; aqui a homogênea tem e^{2x}, diferente de e^{x}, logo A e^{x} é uma boa tentativa.
Calculo a derivada:
y_p' = A e^{x}.
Substituo na equação original:
A e^{x} = 2\,(A e^{x}) + e^{x}.
Fatorando e^{x} (que nunca é zero) obtemos:
A = 2A + 1.
Resolvendo para A:
A - 2A = 1 \quad\Rightarrow\quad -A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Portanto
y_p = - e^{x}.

Passo 5

A solução geral da equação linear é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
y = y_h + y_p = C e^{2x} - e^{x},
onde C é constante arbitrária real.

Passo 6

Verificação alternativa (fator integrante) — resumo rápido para ficar seguro. Escrevendo
y' - 2y = e^{x},
o fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando a equação por \mu:
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{-2x}e^{x} = e^{-x}.
O lado esquerdo é derivada de produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr) = e^{-x}.
Integrando:
e^{-2x}y = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.
Multiplicando por e^{2x}:
y = -e^{x} + C e^{2x},
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

y = C e^{2x} - e^{x}

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