Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar as soluções dessa equação (ou seja, a solução geral). As informações relevantes são:
- A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
.
Passo 2
Vou explicar o tipo de equação e o plano de ataque, sem resolver ainda. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas. Aqui podemos escrever a equação como
logo
e
.
Dois métodos clássicos para resolver são:
- resolver a equação homogênea e achar uma solução particular (superposição);
- usar o fator integrante.
Como o termo não homogêneo é uma exponencial simples
e a solução da homogênea será
, o método por solução homogênea + tentativa de solução particular (coeficientes indeterminados) é direto e simples. Vou usar esse método e, depois, mostrar rapidamente o fator integrante como verificação.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Isto é uma equação separável. Escreve-se
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
onde
é uma constante arbitrária (absorvi
em
). Essa é a solução geral da homogênea.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Como o termo forçante é
, tento uma solução da forma
onde
é constante desconhecida. Justificação curta: escolhe-se uma forma igual ao forçamento quando essa não coincide com a solução homogênea; aqui a homogênea tem
, diferente de
, logo
é uma boa tentativa.
Calculo a derivada:
Substituo na equação original:
Fatorando
(que nunca é zero) obtemos:
Resolvendo para
:
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação linear é a soma da solução homogênea com uma solução particular:
onde
é constante arbitrária real.
Passo 6
Verificação alternativa (fator integrante) — resumo rápido para ficar seguro. Escrevendo
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é derivada de produto:
Integrando:
Multiplicando por
:
que coincide com o resultado anterior.