Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral (ou soluções particulares singulares, se houver) dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
com uma razão que envolve e . - A expressão do lado direito é uma função que depende de combinações lineares de
e .
Passo 2
Observação estratégica (explicação didática do raciocínio): quando o lado direito de uma equação do tipo
é uma função que depende apenas da razão
(ou seja, é homogêneo de grau zero), é útil fazer a substituição
onde
é uma nova função de
:
. Essa substituição transforma a equação em uma que geralmente é separável em
e
. Aqui vamos verificar que isso funciona: definir
e calcular
.
Passo 3
Calcular
em termos de
e
. Como
,
Agora substituímos
no lado direito da equação original:
Logo a equação diferencial fica
Passo 4
Isolar
para obter uma equação separável:
Fazendo a subtração no lado direito, com denominador comum
,
Note que o numerador fatora:
Portanto
Passo 5
Separar as variáveis (colocar todos os termos em
Agora integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, usamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
,
Igualando coeficientes:
Resolver o sistema: de
. Assim
Passo 6
Integrar ambos os lados:
As integrais são logaritmos:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
para simplificar:
Agrupando os logs:
Exponenciando e absorvendo a constante em uma constante multiplicativa
,
onde, para simplificar a notação, o sinal absoluto foi absorvido em
(constante arbitrária real).
Passo 7
Voltar à variável original
lembrando
. Substituindo
e simplificando:
Multiplicando numerador e denominador convenientemente (ou simplificando diretamente), obtém-se
Para
podemos cancelar
e ficar com a forma implícita simples da família de soluções:
onde
é constante arbitrária real.
Passo 8
Verificar soluções especiais que podem ter sido perdidas ao dividir por fatores: ao longo da integração dividiu-se por
em etapas, então
e
merecem atenção. Essas correspondem às retas
e
.
- Substituindo
na equação original: e o lado direito dá . Logo é solução. Na forma implícita acima, corresponde a e leva a . - Substituindo
: e o lado direito dá . Logo também é solução. Essa solução corresponde a , que faz o denominador zero na expressão intermediária; por isso ela aparece como solução singular que não é obtida por um valor finito de na forma . Deve ser incluída explicitamente.
Domínio: as manipulações supõem
ao usar
; as soluções constantes em
(as retas) também são válidas para todo
.