Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
y^{\prime}=\frac{4 y-3 x}{2 x-y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'=\frac{4y-3x}{2x-y}.
O que é pedido: encontrar a solução geral (ou soluções particulares singulares, se houver) dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona y' com uma razão que envolve x e y.
  • A expressão do lado direito é uma função que depende de combinações lineares de x e y.

Passo 2

Observação estratégica (explicação didática do raciocínio): quando o lado direito de uma equação do tipo y'=\dfrac{\text{algo em }x,y}{\text{algo em }x,y} é uma função que depende apenas da razão \dfrac{y}{x} (ou seja, é homogêneo de grau zero), é útil fazer a substituição
y = v x,
onde v é uma nova função de x: v=v(x). Essa substituição transforma a equação em uma que geralmente é separável em v e x. Aqui vamos verificar que isso funciona: definir y=vx e calcular y'.

Passo 3

Calcular y' em termos de v e dv/dx. Como y=vx,
y'=\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Agora substituímos y=vx no lado direito da equação original:
\frac{4y-3x}{2x-y}=\frac{4(vx)-3x}{2x-(vx)}=\frac{4v-3}{2-v}.
Logo a equação diferencial fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{4v-3}{2-v}.

Passo 4

Isolar x\,dv/dx para obter uma equação separável:
x\frac{dv}{dx}=\frac{4v-3}{2-v}-v.
Fazendo a subtração no lado direito, com denominador comum 2-v,
\frac{4v-3}{2-v}-v=\frac{4v-3 - v(2-v)}{2-v}=\frac{4v-3-2v+v^2}{2-v}=\frac{v^2+2v-3}{2-v}.
Note que o numerador fatora:
v^2+2v-3=(v+3)(v-1).
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{(v+3)(v-1)}{2-v}.

Passo 5

Separar as variáveis (colocar todos os termos em v\) no mesmo lado e \(x\) no outro): \[\frac{2-v}{(v+3)(v-1)}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, usamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B tais que
\frac{2-v}{(v+3)(v-1)}=\frac{A}{v+3}+\frac{B}{v-1}.
Multiplicando ambos os lados por (v+3)(v-1),
2-v = A(v-1)+B(v+3)=(A+B)v +(-A+3B).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B=-1,\\[4pt] -A+3B=2. \end{cases}
Resolver o sistema: de A=-1-B\]. Substituindo na segunda: \[-(-1-B)+3B=2 \implies 1+B+3B=2 \implies 4B=1 \implies B=\tfrac{1}{4}.\] Então \(A=-1-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{5}{4}. Assim
\frac{2-v}{(v+3)(v-1)}=-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{v+3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{v-1}.]

Passo 6

Integrar ambos os lados:
\int\left(-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{v+3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{v-1}\right)dv=\int\frac{dx}{x}.
As integrais são logaritmos:
-\frac{5}{4}\ln|v+3|+\frac{1}{4}\ln|v-1|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 4 para simplificar:
-5\ln|v+3|+\ln|v-1|=4\ln|x|+C_1.
Agrupando os logs:
\ln\!\left(\frac{|v-1|}{|v+3|^{5}}\right)=\ln|x|^{4}+C_1.
Exponenciando e absorvendo a constante em uma constante multiplicativa C,
\frac{v-1}{(v+3)^{5}}=C x^{4},
onde, para simplificar a notação, o sinal absoluto foi absorvido em C (constante arbitrária real).

Passo 7

Voltar à variável original y lembrando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo v e simplificando:
\frac{\dfrac{y}{x}-1}{\left(\dfrac{y}{x}+3\right)^{5}}=C x^{4}.
Multiplicando numerador e denominador convenientemente (ou simplificando diretamente), obtém-se
x^{4}\frac{y-x}{(y+3x)^{5}}=C x^{4}.
Para x\neq 0 podemos cancelar x^{4} e ficar com a forma implícita simples da família de soluções:
\frac{y-x}{(y+3x)^{5}}=C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 8

Verificar soluções especiais que podem ter sido perdidas ao dividir por fatores: ao longo da integração dividiu-se por (v+3)(v-1) em etapas, então v=1 e v=-3 merecem atenção. Essas correspondem às retas y=x e y=-3x.
  • Substituindo y=x na equação original: y'=1 e o lado direito dá \dfrac{4x-3x}{2x-x}=1. Logo y=x é solução. Na forma implícita acima, y=x corresponde a v=1 e leva a C=0.
  • Substituindo y=-3x: y'=-3 e o lado direito dá -3. Logo y=-3x também é solução. Essa solução corresponde a v=-3, que faz o denominador (v+3)^{5} zero na expressão intermediária; por isso ela aparece como solução singular que não é obtida por um valor finito de C na forma \dfrac{y-x}{(y+3x)^{5}}=C. Deve ser incluída explicitamente.
Domínio: as manipulações supõem x\neq 0 ao usar v=y/x; as soluções constantes em v (as retas) também são válidas para todo x.

Resposta

\dfrac{y-x}{(y+3x)^{5}}=C (constante arbitrária C)
y=-3x

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