Resolva o problema de valor inicial.
d/dx y = (2x - y)/(x - 2y) com y(1) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
E a condição inicial é . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Multiplicando ambos os lados da nossa equação por para eliminar o denominador, temos:
Rearranjando, ficamos com:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, vamos determinar usando a segunda condição:
Resolvendо para :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na função potencial :
Rearranjando os termos:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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