Resolva o problema de valor inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
E a condição inicial é
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Multiplicando ambos os lados da nossa equação por
para eliminar o denominador, temos:
Rearranjando, ficamos com:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos determinar
usando a segunda condição:
Resolvendо para
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na função potencial
:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: