Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(s) ( ) Se
e
diverge, então
diverge.
(s) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se o limite de
quando
vai para o infinito é zero e a soma dos
diverge, então a soma dos
também deve divergir. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e o comportamento de séries infinitas, especialmente os testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa
. Isso quer dizer que, para valores grandes de
, os termos
são bem menores que os
. A afirmação sugere que, mesmo que os
sejam menores, se a série dos
diverge, a série dos
também não vai somar para um valor finito.
Passo 3
Para ver se isso é sempre verdade, vamos procurar um contraexemplo, ou seja, encontrar uma situação onde
e
diverge, mas
converge. Vamos escolher:
-
(a série harmônica, que sabemos que diverge) -
(a série dos inversos dos quadrados, que converge)
Calculando o limite:
Aqui,
diverge, mas
converge, o que mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
Falsa (F).