Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(s) ( ) Se lim n +infty anbn=0 e sumn=1^+infty bn diverge, então sumn=1^+infty an diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se o limite de quando vai para o infinito é zero e a soma dos diverge, então a soma dos também deve divergir. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e o comportamento de séries infinitas, especialmente os testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa . Isso quer dizer que, para valores grandes de , os termos são bem menores que os . A afirmação sugere que, mesmo que os sejam menores, se a série dos diverge, a série dos também não vai somar para um valor finito.

Passo 3

Para ver se isso é sempre verdade, vamos procurar um contraexemplo, ou seja, encontrar uma situação onde limn +infty anbn = limn +infty 1n^21n = limn +infty 1n = 0 e diverge, mas converge. Vamos escolher:
  • (a série harmônica, que sabemos que diverge)
  • (a série dos inversos dos quadrados, que converge)
Calculando o limite:
Aqui, diverge, mas converge, o que mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.

Resposta

Falsa (F).

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